1. Отрицание. Отрицание высказывания х называется новое высказывание, которое является истинным, если высказывание х ложно, и ложным, если высказывание х истинно.
Отрицание высказывания х обозначается \(\bar{x}\) и читается "не х" или "неверно, что х".
Логические значения высказывания \(\bar{х}\) можно описать с помощью таблицы:
| х | \(\bar{х}\) |
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
Пусть х высказывание. Так как \(\bar{х}\) так же является высказыванием, то можно образовать отрицание высказывания \(\bar{х}\), то есть высказывание \(\bar{\bar{x}}\), которое называется двойным отрицание высказывания х. Ясно, что логические значения высказываний \(\bar{\bar{x}}\) и х совпадают.
Например, для высказывания "Река Волхов вытекает из озера Ильмень" отрицание будет высказывание "Неверно, что река Волхов вытекает из озера Ильмень" или "Река Волхов не вытекает из озера Ильмень", а двойное отрицанием будет высказывание "Неверно, что река Волхов не вытекает из озера Ильмень".
2. Конъюнкция (логическое умножение). Конъюнкцией двух высказываний х, у называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания х, у истинны, и ложными, если хотя бы одно из них ложно.
Конъюнкция высказываний х, у обозначается символом х&у или \((x \wedge y)\), читается "х и у". Высказывания х, у называются членами конъюнкции.
Логические значения конъюнкции описываются следующей таблицей истинности:
| х | у | х&у |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
Например, для высказываний "6 делится на 2", "6 делится на 3", их конъюнкцией будет высказывание "6 делится на 2 и 6 делится на 3", которое, очевидно, истинно.
3. Дизъюнкция (логическое сложение). Дизъюнкцией двух высказываний х, у называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний х, у истинно, и ложным, если они оба ложны.
Дизъюнкцией высказываний х, у обозначается символом \((x \vee y)\), читается "х или у". Высказывания х, у называются членами дизъюнкции.
Логические значения дизъюнкции описываются следующей таблицей истинности:
| х | у | \((x \vee y)\) |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Например, высказывание "В треугольник DFE угол D или угол E острый" истинно, так как обязательно истинно хотя бы одно из высказываний: "В треугольник DFE угол D острый", " В треугольнике DFE угол E острый".
4. Импликация. Импликацией двух высказываний х, у называется новое высказывание, которое считается ложным, если х истинно, а у - ложно, и истинным во всех остальных случаях.
Импликация высказываний х, у обозначается символом \(x\rightarrow y\), читается "если х, то у" или "из х следует у". Высказывание х называют условием или посылкой, высказывание у - следствие или заключением, высказывание \(x\rightarrow y\) - следованием или импликацией.
Логические значения операции импликации описываются следующей таблицей истинности:
| х | у | \(x\rightarrow y\) |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
Например, высказывание "Если число 12 делится на 6, то оно делится на 3", очевидно, истинно, так как здесь истинна посылка "Число 12 делится на 6" и истинно заключение "Число 12 делится на 3".
Импликация играет важную роль в математических доказательствах, так как многие теоремы формулируются в условной форме "Если х, то у". Если при этом известно, что х истинно и доказана истинность импликации \(x\rightarrow y\), то мы вправе сделать вывод об истинности заключения у.
5. Эквиваленция. Эквиваленцией (или эквивалентностью) двух высказываний х, у называется новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания х, у либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложны во всех остальных случаях.
Эквиваленция высказываний х, у обозначается символом \(x \leftrightarrow y\), читается "для того, чтобы х, необходимо и достаточно, чтобы у" или "х тогда и только тогда, когда у". Высказывания х, у называются членами эквиваленции.
Логические значения операции эквиваленции описываются следующей таблицей истинности:
| х | у | \(x \leftrightarrow y\) |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Например, эквиваленция "Треугольник SPQ с вершиной S и основание PQ равнобедренный тогда и только тогда, когда \(\prec P= \prec Q\)" является истинной, так как высказывания "Треугольник SPQ с вершиной S и основание PQ равнобедренный" и " В треугольник SPQ с вершиной S и основание PQ \(\prec P= \prec Q\)" либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.
Эквивалентность играет важную роль в математических доказательствах. Известно, что значительное число теорем формулируется в форме необходимых и достаточных условий, то есть в эквивалентности. В этом случае, зная об истинности или ложности одного из двух членов эквивалентности и доказав истинности самой эквивалентности, мы заключаем об истинности или ложности второго члена эквивалентности.
