Простейшие правила интегрирования. Примеры решения задач

     Пример 1. Вычислить \(\int sin 5x dx\). Умножим и разделим интеграл на 5 и внесем множитель 5 под символ интеграла: $$\int sin 5xdx=\frac{1}{5}\int sin5x5dx=\frac{1}{5}\int sin5xd(5x).$$
     Полагая, \(5x=u\), придем к интегралу основной таблицы: $$\int sin 5xdx=\frac{1}{5}\int sin u du=-\frac{1}{5}cosu+C=-\frac{1}{5}cos5x+C.$$

     Пример 2. Вычислить \(\int (2x-1)^{100}dx\). Умножая и деля на 2 и замечая, что \(2dx = d(2x-1)\), получим $$\int (2x-1)^{100}dx=\frac{1}{2}\int (2x-1)^{100}d(2x-1).$$
     Полагая, \(2x-1=u\), находим $$\int (2x-1)^{100}dx=\frac{1}{2}\int u^{100}du=\frac{1}{2}\frac{u^{101}}{101}+C=\frac{1}{202}(2x-1)^{101}+C.$$
     Легко видеть все преимущества такого интегрирования по сравнению с интегрированием многочлена, полученного от раскрытия бинома в сотой (!) степени по формуле Ньютона.

     Пример 3. Вычмслить \(\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}dx\). Преобразуем интеграл к виду $$\frac{1}{2}\int \frac{2x}{\sqrt{x^{2}+1}}dx=\frac{1}{2}\int (x^{2}+1)^{-\frac{1}{2}}d(x^{2}+1).$$
     Полагая, \(x^{2}+1=u\), получим $$\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}dx=\frac{1}{2}\frac{(x^{2}+1)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C=\sqrt{x^{2}+1}+C.$$

     Пример 4. Вычислить \(\int \frac{dx}{3x-1}\). Имеем $$\int \frac{dx}{3x-1}=\frac{1}{3}\int \frac{(3x-1)'}{3x-1}dx=\frac{1}{3}\int \frac{d(3x-1)}{3x-1}=\frac{1}{3}ln\left|3x-1 \right|+C.$$
     Если числитель подынтегральной функции является производной знаменателя, то интеграл равен логарифму абсолютной величины знаменателя.
     В самом деле, $$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\int \frac{df(x)}{f(x)}=\int \frac{du}{u}=ln\left|u \right|+C=ln\left|f(x) \right|+C.$$

     Пример 5. Вычислить \(\int \frac{x}{1+x^{4}}dx\). Замечая, что \(xdx=\frac{1}{2}d(x^{2})\), получим $$\int \frac{xdx}{1+x^{4}}=\frac{1}{2}\int \frac{d(x^{2})}{1+(x^{2})^{2}}=\frac{1}{2}arc tg(x^{2})+C.$$

     Пример 6. Вычислить \(\int \frac{3x+2}{2x-1}dx\). Разделив числитель на знаменатель, получим в частном 1,5 и в остатке 3,5. Следовательно, $$\int \frac{3x+2}{2x-1}dx=\int (1,5+\frac{3,5}{2x-1})dx=1,5x+1,75ln\left|2x-1 \right|+C.$$

     Пример 7. Вычислить \(\int \frac{dx}{x^{2}-a^{2}}\) и \(\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}\). Имеем $$\int \frac{dx}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{a^{2}}\int \frac{dx}{(\frac{x}{a})^{2}-1}=\frac{1}{a}\int \frac{d(\frac{x}{a})}{(\frac{x}{a})^{2}-1}=\frac{1}{a}\frac{1}{2}ln\left|\frac{\frac{x}{a}-1}{\frac{x}{a}+1} \right|+C=\frac{1}{2a}ln\left|\frac{x-a}{x+a} \right|+C.$$
Аналогично можно найи второй интеграл $$\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}arctg\frac{x}{a}+C.$$
К этим интегралам легко преобразуются интегралы \(\int \frac{dx}{x^{2}+px+q}\); нужно только знаменатель представить в виде суммы или разности квадратов.

     Пример 8. Вычислить \(\int \frac{x+3}{x^{2}+4x+8}dx\). К этому интегралу применим комбинированный прием. Замечая, что производная знаменателя равна \(2x+4\), запишем числитель в виде \(\frac{1}{2}(2x+4)+1\) и разобьем интеграл на сумму двух интегралов, каждый из которых находится уже известными приемами: $$\int \frac{x+3}{x^{2}+4x+8}dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x+4}{x^{2}+4x+8}dx+\int \frac{dx}{x^{2}+4x+8}=\frac{1}{2}ln(x^{2}+4x+8)+\frac{1}{2}arctg\frac{x+2}{2}+C.$$

     Пример 9. Вычислить \(\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\)
Аналогично примеру 7, получим $$\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\frac{1}{a}\int \frac{dx}{\sqrt{1-(\frac{x}{a})^{2}}}=\int \frac{d(\frac{x}{a})}{\sqrt{1-(\frac{x}{a})^{2}}}=arc\sin \frac{x}{a}+C.$$

     Пример 10. Вычислить \(\int \sin ^{2}xdx\) и \(\int \cos ^{2}xdx\). Данные интегралы легко находятся при помощи формул \(\sin ^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}\) и \(\cos ^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}\).

     Пример 11. Вычислить \(\int \cos ^{3}xdx\). Посдедовательно находим $$\int \cos ^{3}xdx=\int \cos ^{2}xd(\sin x)=\int (1-\sin ^{2}x)d(\sin x)=\int d(\sin x)-\int \sin ^{2}xd(\sin x)=\sin x-\frac{1}{3}\sin ^{3}x+C.$$