Перестановка пределов и разбиение интервала интегрирования. Геометрический смысл интеграла.
До сих пор мы предполагали, что нижний предел интеграла меньше верхнего, или, как говорят, что интервал интегрирования направлен вправо. Ничто не мешает однако в общем определении интеграла считать что \(a>b\), т.е. что интервал интегрирования направлен влево. При разбиении интервала интегрирования на части точками \(x_{1}, x_{2},..., x_{n-1}\) будем иметь (рис. 1) и, следовательно, все разности \(x_{i}-x_{i-1}\) будут отрицательными. Это значит, что при построении интегральной суммы разность \(x_{i}-x_{i-1}\) уже не является длиной частичного интервала, а отличается от нее знаком.
Если мы теперь рассмотрим два интеграла
|
$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$
|
и
|
$$\int_{b}^{a}{f(x)dx}$$
|
и составим для них интегральные суммы при одном и том же разбиении интервала на частичные и при одном и том же выборе промежуточных точек, то ясно, что эти суммы будут отличаться друг от друга только знаком.
Теорема о перестановке пределов. Если верхний и нижний пределы интеграла поменять местами, то интеграл изменит только знак: $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=-\int_{b}^{a}{f(x)dx}.$$
Вследствие этой теоремы в дальнейшем при изучении интеграла $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$
будем считать, что \(b>a\), ибо если \(a>b\), то с помощью изменения знака подынтегральной функции данный интеграл сводится к интегралу, у которого нажний предел меньше верхнего.
Совершенно ясно также, что если верхний и нижний пределы интегрирования совпадают, т.е. если \(b=a\), то такой интеграл нужно считать равным нулю: $$\int_{a}^{a}{f(x)dx}=0.$$
С геометрической точки зрения это означает, что если конец основания трапеции совместить с его началом, то трапеция превратиться в прямолинейный отрезок - ординату \(f(a)\), площадь которого нужно считать равной нулю.
Теорема о разбиении интервала интегрирования. Если интервал интегрирования \([a,b]\) разбит на две части \([a,c]\) и \([c,b]\), то
|
$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{c}{f(x)dx}+\int_{c}^{b}{f(x)dx}.$$
|
(1) |
Доказательство. Так как предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения интервала \([a,b]\) на части, будем дробить интервал так, чтобы точка \(c\) всегда была точкой деления. При этом интегральную сумму можно представить так: $$\sum{f(\xi _{i})\Delta x_{i}}=\sum{_{1}f(\xi _{i})\Delta x_{i}}+\sum{_{2}f(\xi _{i})\Delta x_{i}},$$
где в первой сумме в правой части собраны все элементы, соответствующие точкам деления интервала \([a,c]\), а во второй сумме - элементы, соответствующие точкам деления интервала \([c,b]\). И первая и вторая суммы суть интегральные суммы для функции \(f(x)\), соответствующие интервалам \([a,c]\) и \([c,b]\). Если число точек деления неограничено возрастает, а длина наибольшего частичного интервала стремится к нулю для всего интервала \([a,b]\), то то же самое, очевидно, будет выполняться и для интервалов \([a,c]\) и \([c,b]\); при этом первая сумма стремится к интегралу в пределах от \(a\) до \(c\), а вторая - к интегралу в пределах от \(c\) до \(b\), и мы получаем требуемое равенство.
Равенство (1) справедливо и в том случае, когда точка \(c\) лежит вне интервала \([a,b]\), справа от него \((c>b>a)\) или слева от него \((b>a>c)\) (при условии, что функция \(f(x)\) неперерывна в \([a,c]\) или в \([c,b]\)).
Пусть \((c>b>a)\). По доказанному, так как \(b\) лежит между \(a\) и \(c\), $$\int_{a}^{c}{f(x)dx}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\int_{b}^{c}{f(x)dx},$$
откуда $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{c}{f(x)dx}-\int_{b}^{c}{f(x)dx}.$$
Меняя местами пределы второго интеграла в правой части, получим $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{c}{f(x)dx}+\int_{c}^{b}{f(x)dx},$$
что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается, что равенство (1) имеет место и при \((b>a>c)\).
Из доказанной теоремы непосредственно следует, что если \(c_{1},c_{2},...,c_{k}\) - как угодно расположенные числа в интервале непрерывности функции \(f(x)\), то
|
$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{c_{1}}{f(x)dx}+\int_{c_{1}}^{c_{2}}{f(x)dx}+...+\int_{c_{k}}^{b}{f(x)dx}.$$
|
(2) |
Данная теорема выражает так называемое свойство аддитивности определенного интеграла.
Перестановка пределов и разбиение интервала интегрирования. Геометрический смысл интеграла. Продолжение здесь
