Перестановка пределов и разбиение интервала интегрирования. Геометрический смысл интеграла.

До сих пор мы предполагали, что нижний предел интеграла меньше верхнего, или, как говорят, что интервал интегрирования направлен вправо. Ничто не мешает однако в общем определении интеграла считать что $a>b$, т.е. что интервал интегрирования направлен влево. При разбиении интервала интегрирования на части точками $x_{1}, x_{2},..., x_{n-1}$ будем иметь (рис. 1) и, следовательно, все разности $x_{i}-x_{i-1}$ будут отрицательными. Это значит, что при построении интегральной суммы разность $x_{i}-x_{i-1}$ уже не является длиной частичного интервала, а отличается от нее знаком.

Если мы теперь рассмотрим два интеграла

$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$

$$\int_{b}^{a}{f(x)dx}$$

и составим для них интегральные суммы при одном и том же разбиении интервала на частичные и при одном и том же выборе промежуточных точек, то ясно, что эти суммы будут отличаться друг от друга только знаком.
     Теорема о перестановке пределов. Если верхний и нижний пределы интеграла поменять местами, то интеграл изменит только знак: $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=-\int_{b}^{a}{f(x)dx}.$$
     Вследствие этой теоремы в дальнейшем при изучении интеграла $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$
будем считать, что $b>a$, ибо если $a>b$, то с помощью изменения знака подынтегральной функции данный интеграл сводится к интегралу, у которого нажний предел меньше верхнего.
     Совершенно ясно также, что если верхний и нижний пределы интегрирования совпадают, т.е. если $b=a$, то такой интеграл нужно считать равным нулю: $$\int_{a}^{a}{f(x)dx}=0.$$
     С геометрической точки зрения это означает, что если конец основания трапеции совместить с его началом, то трапеция превратиться в прямолинейный отрезок - ординату $f(a)$, площадь которого нужно считать равной нулю.
     Теорема о разбиении интервала интегрирования. Если интервал интегрирования $[a,b]$ разбит на две части $[a,c]$ и $[c,b]$, то

$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{c}{f(x)dx}+\int_{c}^{b}{f(x)dx}.$$

(1)

     Доказательство. Так как предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения интервала $[a,b]$ на части, будем дробить интервал так, чтобы точка $c$ всегда была точкой деления. При этом интегральную сумму можно представить так: $$\sum{f(\xi _{i})\Delta x_{i}}=\sum{_{1}f(\xi _{i})\Delta x_{i}}+\sum{_{2}f(\xi _{i})\Delta x_{i}},$$
где в первой сумме в правой части собраны все элементы, соответствующие точкам деления интервала $[a,c]$, а во второй сумме - элементы, соответствующие точкам деления интервала $[c,b]$. И первая и вторая суммы суть интегральные суммы для функции $f(x)$, соответствующие интервалам $[a,c]$ и $[c,b]$. Если число точек деления неограничено возрастает, а длина наибольшего частичного интервала стремится к нулю для всего интервала $[a,b]$, то то же самое, очевидно, будет выполняться и для интервалов $[a,c]$ и $[c,b]$; при этом первая сумма стремится к интегралу в пределах от $a$ до $c$, а вторая - к интегралу в пределах от $c$ до $b$, и мы получаем требуемое равенство.
     Равенство (1) справедливо и в том случае, когда точка $c$ лежит вне интервала $[a,b]$, справа от него $(c>b>a)$ или слева от него $(b>a>c)$ (при условии, что функция $f(x)$ неперерывна в $[a,c]$ или в $[c,b]$).
     Пусть $(c>b>a)$. По доказанному, так как $b$ лежит между $a$ и $c$, $$\int_{a}^{c}{f(x)dx}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\int_{b}^{c}{f(x)dx},$$
откуда $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{c}{f(x)dx}-\int_{b}^{c}{f(x)dx}.$$
     Меняя местами пределы второго интеграла в правой части, получим $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{c}{f(x)dx}+\int_{c}^{b}{f(x)dx},$$
что и требовалось доказать.
     Аналогично доказывается, что равенство (1) имеет место и при $(b>a>c)$.
     Из доказанной теоремы непосредственно следует, что если $c_{1},c_{2},...,c_{k}$ - как угодно расположенные числа в интервале непрерывности функции $f(x)$, то

$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{c_{1}}{f(x)dx}+\int_{c_{1}}^{c_{2}}{f(x)dx}+...+\int_{c_{k}}^{b}{f(x)dx}.$$

(2)

Данная теорема выражает так называемое свойство аддитивности определенного интеграла.

Перестановка пределов и разбиение интервала интегрирования. Геометрический смысл интеграла. Продолжение здесь

Оценка - 1.0 (15)

2012-11-04 • Просмотров [ 4938 ]