Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.

     Важнейшим результатом, устанавливающим связь между определенным и неопределенным интегралами, является формула Ньютона-Лейбница, согласно которой оперделенный интеграл вычисляется при помощи неопределенного интеграла $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int f(x)dx\mid _{a}^{b}.$$
     Так как в правой части равенства можно брать любую первообразную, то безразлично какую брать произвольную постоянную при неопределенном интегрировании; поэтому ее вообще не пишут.
     Простейшие правила интегрирования суммы и произведения постоянной на функцию совершенно одинаковы для определенного и неопределенного интегралов. Теперь мы рассмотрим правила интегрирования по частям и замены переменной и укажем некоторые особенности их применения для вычисления определенных интегралов.
     I. Правило интегрирования по частям:

$$\int_{x_{1}}^{x_{2}}{udv}=uv\mid _{x_{1}}^{x_{2}}-\int_{x_{1}}^{x_{2}}{vdu},$$

(А)

где \(u\) и \(v\) - функции независимой переменной.
     Доказательство. Имеем $$\int_{x_{1}}^{x_{2}}{udv}=\int udv\mid _{x_{1}}^{x_{2}}=(uv-\int vdu)\mid _{x_{1}}^{x_{2}};$$
отсюда непосредственно и следует доказываемая формула.
     Вместо того, чтобы до конца довести неопределенное интегрирование по частям, а заем выполнить двойную подстановку, можно сразу воспользоваться формулой (А).
     Пример 1. $$I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin ^{n}x dx},$$
\(n\) - целое положительное число.
Положим

$$dv=\sin x dx,$$

$$u=\sin ^{n-1}x$$

При этом

$$v=-\cos x,$$

$$du=(n-1)\sin ^{n-2}x \cos x dx$$

и $$I_{n}=-\cos x\sin ^{n-1}x\mid _{0}^{\frac{\pi }{2}}+(n-1)\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin ^{n-2}x\cos ^{2}x dx}.$$
     первое слагаемое в правой части равно нулю; заменяя во втором слагаемом \(\cos^{2}x\) через \(1-\sin ^{2}x\), получим $$I_{n}=(n-1)\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin ^{n-2}xdx}-(n-1)\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin ^{n}xdx},$$
т.е. $$I_{n}=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n},$$
откуда $$I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}.$$
Это - формула приведения (рекуррентная формула). С ее помощью мы можем в конце концов снизить показатель степени до \(1\), если \(n\) - нечетное число, или до \(0\), если \(n\) - четное число. Но интегралы \(I_{1}\) и \(I_{0}\) известны:

$$I_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin xdx}=1,$$

$$I_{0}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{dx}=\frac{\pi }{2},$$

и, таким образом, задача решается до конца. Нaпример,

$$I_{3}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin ^{3}xdx}=\frac{2}{3}I_{1}=\frac{2}{3},$$

$$I_{4}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin ^{4}xdx}=\frac{3}{4}I_{2}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}I_{0}=\frac{3}{16}\pi.$$

     Предварительное полное отыскание неопределенного интеграла потребовало бы более громоздких выкладок.

     Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле. Продолжение здесь

---