Квадратное уравнение — уравнение вида \(ax^2+bx+c=0\), где \(a\neq 0\).
Дискриминант: \(D=b^2-4ac\).
Если \(D>0\): $$x_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\; \; x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

---

Если \(D=0\): $$x_1=\frac{-b}{2a}$$

---

Если \(D<0\), то действительных корней нет.

---

$$x^2+px+q=0,\; \; D=p^2-4q:$$ $$D>0,\; \; \; x_1=-\frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^2}{4}-q},\; x_2=-\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q};$$ $$D=0,\; \; \; x_1=-\frac{p}{2}$$

---

$$ax^2+2kx+c=0,\; \; D=4\left(k^2-ac \right)$$ $$D>0,\; \; \; x_1=\frac{-k-\sqrt{k^2-ac}}{a},\; x_2=\frac{-k+\sqrt{k^2-ac}}{a};$$ $$D=0,\; \; \; x_1=-\frac{k}{a}$$

---

$$ax^2+bx=0,\; \; b\neq 0:\; x_1=0,\: x_2=-b/a$$

---

$$ax^2+c=0,\; \; ac<0:\; x_1=-\sqrt{-c/a},\: x_2=\sqrt{-c/a}$$

---

$$ax^2=0,\; \; x_1=0$$

---

Если \(x_1, \: x_2\) — корни квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\), то $$x_1+x_2=-b/a,\; \; x_1x_2=c/a.$$ Для уравнения \(x^2+px+q=0\) $$x_1+x_2=-p,\; \; x_1x_2=q.$$

---

Если \(D>0\), то \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).
Если \(D=0\), то \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2\).

---