Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле. Продолжение. Начало здесь

     Пример 3. $$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin x}{1+\cos ^{2}x}dx}.$$
Полагая \(\cos x=u\), будем иметь $$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin x}{1+\cos ^{2}x}dx}=-\int_{1}^{0}{\frac{du}{1+u^{2}}}=arctgu\mid _{0}^{1}=\frac{\pi }{4}.$$

     Пример 4. $$U_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\cos ^{n}xdx}.$$
Положим \(x=\frac{\pi }{2}-u;\) тогда $$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\cos ^{n}xdx}=-\int_{\pi }^{0}{\cos ^{n}(\frac{\pi }{2}-u)du}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin ^{n}udu},$$
а так как значение определенного интеграла не зависит от обознаения переменной интегрирования, то $$U_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\cos ^{n}xdx}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin ^{n}xdx}.$$
Метод вычисления последнего интеграла с помощью формул приведения указан здесь.

     Пример 5. Выведем формулу для интервала, взятого по симметричному интервалу \([-a, a]\): $$\int_{-a}^{a}{f(x)dx},$$
в случаях, когда подынтегральная функция четна и нечетна. Представим этот интеграл так: $$\int_{-a}^{a}{f(x)dx}=\int_{-a}^{0}{f(x)dx}+\int_{0}^{a}{f(x)dx}.$$
Заменив переменную интегрирования в первом интеграле в парвой части по формуле \(x=-u\), получим $$\int_{-a}^{a}{f(x)dx}=\int_{0}^{a}{f(-u)du}+\int_{0}^{a}{f(x)dx}.$$
Обозначим в первом интеграле справа переменную интегрирования снова через \(x\); тогда $$\int_{-a}^{a}{f(x)dx}=\int_{0}^{a}{[f(-x)+f(x)]dx}.$$
     Подынтегральная функция в правой части равна нулю, если \(f(x)\) - функция нечетная, и равна \(2f(x)\), если \(f(x)\) - функция четная. Следовательно,

$$\int_{-a}^{a}{f(x)dx}=0,$$	если \(f(x)\) - нечетная функция,
$$\int_{-a}^{a}{f(x)dx}=2\int_{0}^{a}{f(x)dx},$$	если \(f(x)\) - четная функция.

     Эти формулы очень полезны. Например, сразу ясно, что

$$\int_{-a}^{a}{x^{5}e^{x^{2}}dx}=0,$$

$$\int_{-\pi }^{\pi }{\sin ^{3}x\cos ^{2}xdx}=0.$$

---