Интегрирование — это одна из двух основных операций в математическом анализе, но в отличие от операции дифференцирования она выводит из множества элементарных функций. Из теоремы Лиувилля следует, например, что интеграл от \(e^{x^{2}}\) не является элементарной функцией. Таблицы известных первообразных оказываются часто очень полезны, хотя сейчас и теряют свою актуальность с появлением систем компьютерной алгебры. На этой странице представлен список наиболее часто встречающихся первообразных.
\(C\) использована как произвольная константа интегрирования, которую можно определить, если известно значение интеграла в какой-нибудь точке. У каждой функции имеется бесконечное число первообразных.
ИНТЕГРАЛЫ ПРОСТЫХ ФУНКЦИЙ
Рациональные функции
| \(\int 0\, dx=C\) | \(\;\;\;\) | \(\int a\, dx=ax+C\) |
| \(\int x^{n}\, dx=\begin{cases} \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,& \text{ } n\neq -1 \\ \ln \left|x \right|+C,& \text{ } n=-1 \end{cases}\) | \(\;\;\;\) | \(\int \frac{dx}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C=-\frac{1}{a}\text{arccot}\, \frac{x}{a}+C\) |
| \(\int \frac{dx}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a} \right|+C\) | \(\;\;\;\) | \(\int \frac{dx}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+x}{a-x} \right|+C\) |
Логарифмы
| \(\int \ln x\, dx=x\ln x-x+C\) | \(\;\;\;\) | \(\int \frac{dx}{x\ln x}=\ln \left|\ln x \right|+C\) | \(\;\;\;\) | \(\int \log _{b}x\, dx=x\log _{b}x-x\log _{b}e+C\) |
Экспоненциальные функции
| \(\int e^{x}\, dx=e^{x}+C\) | \(\;\;\;\) | \(\int a^{x}\, dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C\) |
Иррациональные функции
| \(\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin\frac{x}{a}+C\) | \(\;\;\;\) | \(\int \frac{-dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arccos\frac{x}{a}+C\) |
| \(\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\frac{1}{a}\text{ arcsec}\frac{\left|x \right|}{a}+C\) | \(\;\;\;\) | \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}}=\ln \left|x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}} \right|+C\) |
Тригонометрические функции
| \(\int \sin x\, dx=-\cos x+C\) | \(\;\;\;\) | \(\int \cos x\, dx=\sin x+C\) |
| \(\int \tan x\, dx=-\ln \left|\cos x \right|+C\) | \(\;\;\;\) | \(\int \cot x\, dx=\ln \left|\sin x \right|+C\) |
| \(\int \sec x\, dx=\ln \left|\sec x+\tan x\right|+C\) | \(\;\;\;\) | \(\int \csc x\, dx=-\ln \left|\csc x+\cot x\right|+C\) |
| \(\int \sec^{2} x\, dx=\tan x+C\) | \(\;\;\;\) | \(\int \csc^{2} x\, dx=-\cot x+C\) |
| \(\int \sec x\tan x\, dx=\sec x+C\) | \(\;\;\;\) | \(\int \csc x\cot x\, dx=-\csc x+C\) |
| \(\int \sin ^{2}x\, dx=\frac{1}{2}\left(x-\sin x\cos x \right)+C\) | \(\;\;\;\) | \(\int \cos ^{2}x\, dx=\frac{1}{2}\left(x+\sin x\cos x \right)+C\) |
| \(\int \arctan x\, dx=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln \left(1+x^{2} \right)+C\) | \(\int \frac{dx}{\cos ^{2}x}=\tan x+C\) | \(\int \frac{dx}{\sin ^{2}x}=\cot x+C\) |
Гиперболические функции
| \(\int \sinh x\, dx=\cosh x+C\) | \(\;\;\;\) | \(\int \cosh x\, dx=\sinh x+C\) |
| \(\int \frac{dx}{\cosh ^{2}x}=\tanh x+C\) | \(\int \frac{dx}{\sinh ^{2}x}=-\coth x+C\) | |
| \(\int \tanh x\, dx=\ln \left|\cosh x \right|+C\) | \(\int \text{csch}\, x\, dx=\ln \left|\tanh \frac{x}{2} \right|+C\) | |
| \(\int \text{sech}\, x\, dx=\arctan (\sinh x)+C\) | \(\int \text{sech}\, x\, dx=2\arctan (e ^{x})+C\) | |
| \(\int \text{sech}\, x\, dx=2\arctan (\tanh \frac{x}{2})+C\) | \(\int \coth x\, dx=\ln \left|\sinh x \right|+C\) |
