Задача

Задана функція

$$f(x_1;x_2 )=30x_1^2+20x_1 x_2+40x_2^2+x_1-10x_2$$

і початкова точка

$$x^0=(1;1).$$

Задана опукла функція

$$f(x_1;x_2 ).$$

Знайти точку мінімуму

$$ x^*=(x_1^*;x_2^*)$$

даної функції , якщо змінні задовольняють рівнянню

$$ax_1+bx_2+c=0.$$

Точку

$$ x*=(x_1^*;x_2^* )$$

методом Якобі.

Розв’язання.

Виразимо змінну

$$x_1$$

через

$$x_2$$

$$x_1=2x_2-3.$$

Підставивши

$$x_1 $$

у функцію

$$f(x),$$

отримаємо функцію

$$F(x_2):$$

$$F(x_2 )=30(2x_2-3)^2+20x_2*(2x_2-3)+40x_2^2+2x_2-3+10x_2.$$

Знайдемо стаціонарні точки функції

$$F(x_2).$$

Обчислюємо похідну

$$F' (x_2 )=400x_2-428 $$

і з рівняння

$$400x_2-428=0 $$

знаходимо стаціонарну точку

$$x_2=1,07. $$

З рівняння знаходимо

$$x_1=-0,86.$$

Відповідь

Отже, точка

$$ x^*=(-0,86;1,07)$$

є точкою мінімуму функції

$$f(x_1;x_2 ):$$

$$ f_{min}=f(-0,86;1,07)=38,02. $$

---