Задача
Задана функція
f(x_1;x_2 )=30x_1^2+20x_1 x_2+40x_2^2+x_1-10x_2
і початкова точка
x^0=(1;1).
Задана опукла функція
f(x_1;x_2 ).
Знайти точку мінімуму
x^*=(x_1^*;x_2^*)
даної функції , якщо змінні задовольняють рівнянню
ax_1+bx_2+c=0.
Точку
x*=(x_1^*;x_2^* )
методом Якобі.
Розв’язання.
Виразимо змінну
x_1
через
x_2
x_1=2x_2-3.
Підставивши
x_1
у функцію
f(x),
отримаємо функцію
F(x_2):
F(x_2 )=30(2x_2-3)^2+20x_2*(2x_2-3)+40x_2^2+2x_2-3+10x_2.
Знайдемо стаціонарні точки функції
F(x_2).
Обчислюємо похідну
F' (x_2 )=400x_2-428
і з рівняння
400x_2-428=0
знаходимо стаціонарну точку
x_2=1,07.
З рівняння знаходимо
x_1=-0,86.
Відповідь
Отже, точка
x^*=(-0,86;1,07)
є точкою мінімуму функції
f(x_1;x_2 ):
f_{min}=f(-0,86;1,07)=38,02.