Условие
Доказать, что центральный момент второго порядка (дисперсия)
$$\mu_2 = М([Х—М (Х)])^2$$
меньше обычного момента второго порядка
$$\mu_2 = М([Х—C])^2$$
при любом
$$С\neq М (X)$$
Решение.
Для простоты записи введем обозначение
$$М (Х)=m.$$
Прибавим и вычтем m под знаком математического ожидания:
$$\mu_2 = М([Х—C])^2 = М ([(X—m)+(m-С)])^2 = $$
$$= М [(X—m)^2+2(m — С)(Х—m) + (m-С)^2].$$
Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, поэтому
$$\mu_2 = М [X — m]^2 + M [2(m-С)(Х-m)] + М [m—С]^2.$$
Вынося постоянную величину \(2 (m—С)\) за знак математического ожидания и учитывая, что математическое ожидание постоянной \((m — С)^2 \)равно самой постоянной и что по определению \(М ([X —m])^2 =\mu_2,\) получим \(\mu_2=u_2 +2(m—С)*М [X — m] + (m—С)^2.\) Принимая во внимание, что математическое ожидание отклонения \(Х—m\) равно нулю, имеем
$$\mu_2=\mu_2 + (m—С)^2.$$
Отсюда
$$\mu_2 = \mu_2 —(m—С)^2.$$
Ответ:
Из этого равенства заключаем, что центральный момент второго порядка меньше обычного момента второго порядка при любом \(С\neq m.\)
