Условие

Доказать, что если известна корреляционная функция случайной функции \(X (t),\) то взаимные корреляционные функции случайных функций \(X (t) и Y (t) = \int_{0}^{1}X(s)ds\) выражается интегралом:

$$R_{xy}= \int_{0}^{t_2}K_x(t_1,s)ds;$$

Решение. По определению взаимной корреляционной функции, \(R_{xy}=M[X(t_1)Y(t_2)]. \) Найдем центрированную функцию:

$$Y(t)=Y(t)-m_y(t)=\int_{0}^{t}X(s)ds-\int_{0}^{t}m_x(s)ds=$$

$$=\int_{0}^{t}[X(s)-m_x(s)]ds=\int_{0}^{t}X(s)ds.$$

Следовательно,

$$R_{xy}=M[X(t_1)Y(t_2)]=M\left[X(t_1)\int_{0}^{t_2}X(s)ds\right]=M\left[\int_{0}^{t_2}X(t_1)X(s)ds\right].$$

Операции нахождения математического ожидания можно менять местами, поэтому

Ответ:

$$R_{xy}= \int_{0}^{t_2}M[X(t_1)X(s)ds=\int_{0}^{t_2}K_x(t_1,s)ds.$$

---