Когда человек выбирает новый телевизор, первое, на что он обращает внимание, — это размер диагонали экрана, указанный почти всегда в дюймах. Эта привычная характеристика часто кажется исчерпывающей, но на деле она таит в себе несколько математических и практических нюансов, которые полезно понимать. Итак, вы решительны и у вас есть четкое понимание, что вы ходите телевизор с диагональю в пятьдесят дюймов. Вы начинаете выбирать подходящую модель: https://allo.ua/ru/televizory/diagonal_jekrana-50/ и понимаете, что есть нюансы. Ну не зря же у вас в школе была геометрия? В голову лезет портрет Пифагора, который все 11 лет висел в кабинете математики в вашей школе. И вы начинаете думать. Упростим вам размышления и приведем все выкладки дальше. Кстати, статья будет полезна и преподавателям математики, как пример практической задачи для своих учеников. Итак, вопросы:
Почему в дюймах?
Дюйм — это единица измерения, традиционно используемая в США и странах, следовавших за американской и британской системой мер. В электронике и особенно в продаже экранов (телевизоров, мониторов, смартфонов) дюйм стал стандартом. Один дюйм составляет примерно 2.54 см.
Один размер — две стороны?
Логичный вопрос покупателя: если экран — прямоугольник, то почему указывается только одно число? Всё дело в том, что размер экрана определяется по диагонали, то есть длине от одного угла прямоугольника до противоположного.
Однако тут появляется математическая тонкость: прямоугольников с одинаковой диагональю может быть бесконечно много. Они могут быть «узкими и длинными» или «почти квадратными» — всё зависит от соотношения сторон, то есть отношения ширины к высоте.
Математика: как связаны ширина, высота и диагональ?
Если обозначить ширину экрана как \( w \), высоту как \( h \), а диагональ как \( d \), то они связаны теоремой Пифагора:
\[ d^2 = w^2 + h^2 \]
Если задано соотношение сторон \( r = \frac{w}{h} \), то можно выразить ширину и высоту через диагональ и это отношение:
\[ w = d \cdot \frac{r}{\sqrt{1 + r^2}}, \quad h = \frac{d}{\sqrt{1 + r^2}} \]
А площадь экрана \( A \) будет:
\[ A = w \cdot h = \frac{d^2 \cdot r}{1 + r^2} \]
Примеры: Экраны с диагональю 50 дюймов, но разными соотношениями сторон
(Диагональ 50 дюймов = 127 см)
| Соотношение сторон | Ширина (см) | Высота (см) | Диагональ (см) | Площадь (см²) |
|---|---|---|---|---|
| 4:3 | 101.6 | 76.2 | 127.0 | 7741.9 |
| 16:9 | 110.7 | 62.3 | 127.0 | 6901.4 |
| 21:9 | 117.6 | 50.4 | 127.0 | 5926.9 |
| 1:1 (квадрат) | 89.8 | 89.8 | 127.0 | 8061.2 |
Как видно, самую большую площадь при одинаковой диагонали даёт экран квадратной формы. Это и понятно: при заданной диагонали квадрат имеет наибольшую площадь.
Оптимальное соотношение сторон для максимальной площади
Рассмотрим математическую задачу: пусть диагональ \( d \) фиксирована (например, 50 дюймов), и мы хотим максимизировать площадь экрана в зависимости от отношения \( r = \frac{w}{h} \).
Функция площади от \( r \):
\[ A(r) = \frac{d^2 \cdot r}{1 + r^2} \]
Пусть \( A'(r) = 0 \). Тогда:
\[ A'(r) = \frac{d^2 \cdot (1 - r^2)}{(1 + r^2)^2} \]
Приравнивая производную к нулю, получаем максимум при:
\[ r = 1 \]
Это значит, что максимальная площадь достигается при \( w = h \), то есть когда экран является квадратом.
Что в итоге?
Современные телевизоры чаще всего имеют формат 16:9 — это удобно для просмотра кино и ТВ, но далеко не оптимально по занимаемой площади при данной диагонали. С точки зрения чистой математики, при фиксированной диагонали максимальную площадь даёт экран с соотношением сторон 1:1. Увы, реалии таковы, что если вам таки удастся найти квадратный экран, то его поля будут черными вокруг вашего фильма и экрана не будет задействован на все 100%. Так что придется смириться с форматами. Ну хотя можете консультанта озадачить, который будет вас обслуживать при покупке телевизора своими знаниями математики. Ну тогда, когда он вас спросит - "вам чем-нибудь помочь?" Попросите его решить нашу задачку.
