Наибольше и наименьшее значение функции на отрезке

Введите функцию y(x) и отрезок [a,b], на котором надо найти наибольшее или наименьшее значение. Помните, что наибольшее и наименьшее значения функции могут отличаться от минимума функции и максимума. Наибольшее и наименьшее выбирается из значений функции, вычисленных во внутренних экстремальных точках и граничных точках.

Ниже приведены примеры команд, позволяющие находить наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке.

Поиск максимума и минимума с помощью Optimize

Команда для калькулятора:

Maximize[x^2 - 4 x + 1, 0 <= x <= 5]

Эта команда находит наибольшее значение квадратичной функции на отрезке от 0 до 5 с учётом ограничения на переменную.

Команда для калькулятора:

Minimize[x^2 - 4 x + 1, 0 <= x <= 5]

Результатом будет наименьшее значение функции на том же отрезке и точка, в которой оно достигается.

Одновременное нахождение максимума и минимума

Команда для калькулятора:

Optimize[x^2 - 4 x + 1, 0 <= x <= 5]

Команда Optimize позволяет получить и минимум, и максимум функции на отрезке в рамках одного запроса.

Численный поиск экстремумов

Команда для калькулятора:

FindMaximum[Sin[x], {x, 0, 2 Pi}]

В этом примере находится наибольшее значение тригонометрической функции на отрезке от 0 до \(2\pi\).

Команда для калькулятора:

FindMinimum[Sin[x], {x, 0, 2 Pi}]

Данная команда выполняет численный поиск минимального значения функции на заданном отрезке, что особенно удобно для сложных функций.

Аналитический подход через производную

Команда для калькулятора:

Solve[D[x^3 - 3 x^2 + 2, x] == 0, x]

Этот запрос находит критические точки функции. Затем значения функции в этих точках и на концах отрезка сравниваются для определения глобального максимума и минимума.