Частные производные первого порядка

Введите вашу функцию f(x,y). Используйте скобки, знаки математических операций (+,-,*,/, ^-возведение в степень), математические функции (например, sin(x), exp(x), ln(y).

Понятие частной производной

Частная производная показывает, как изменяется функция нескольких переменных при изменении одной переменной, если остальные считаются постоянными. Для функции \( f(x,y) \) частная производная по \( x \) определяется так:

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x, y) - f(x,y)}{\Delta x} \]

Аналогично вводится частная производная по любой другой переменной.

Частные производные первого порядка

Полиномиальная функция двух переменных

Задача: найти частную производную функции \( f(x,y)=x^2y+3xy^2 \) по переменной \( x \).

Команда для калькулятора:

D[x^2 y + 3 x y^2, x]

Другая версия команды:

d(x^2 y + 3 x y^2)/dx

Результат отражает скорость изменения функции вдоль оси \( x \) при фиксированном \( y \).

Производная по другой переменной

Задача: найти частную производную той же функции \( f(x,y)=x^2y+3xy^2 \) по переменной \( y \).

Команда для калькулятора:

D[x^2 y + 3 x y^2, y]

Сравнение двух производных позволяет оценить анизотропию поведения функции.

Частные производные для сложных функций

Экспоненциально-тригонометрическая функция

Задача: вычислить частную производную функции \( f(x,y)=e^{xy}\sin x \) по переменной \( x \).

Команда для калькулятора:

D[Exp[x y] Sin[x], x]

В результате применяется правило произведения и цепное правило дифференцирования.

Логарифмическая функция

Задача: найти частную производную функции \( f(x,y)=\ln(x^2+y^2) \) по переменной \( y \).

Команда для калькулятора:

D[Log[x^2 + y^2], y]

Подобные выражения часто встречаются в задачах оптимизации и физике полей.