Прямое и обратное преобразование Лапласа

Интегральное преобразование, связывающее функцию F(x) комплексного переменного (изображение) с функцией f(x) вещественного переменного (оригинал). С помощью преобразования Лапласа исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения. Благодаря данной операции свёртку двух функций можно свести к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения преобразовать в алгебраические.

Прямое преобразование :

Обратное преобразование :

Прямое преобразование Лапласа

Задача: найти преобразование Лапласа экспоненциальной функции

Найти преобразование Лапласа функции: \( f(t) = e^{2t} \)

LaplaceTransform[Exp[2 t], t, s]

Запрос явно указывает исходную функцию, переменную времени \(t\) и комплексную переменную \(s\).

Задача: преобразование Лапласа синуса

Найти преобразование Лапласа функции: \( f(t) = \sin(3t) \)

Команда для калькулятора:

LaplaceTransform[Sin[3 t], t, s]

Задача: преобразование Лапласа степенной функции

Найти преобразование Лапласа функции: \( f(t) = t^2 \)

Команда для калькулятора:

LaplaceTransform[t^2, t, s]

Обратное преобразование Лапласа

Задача: найти оригинал по изображению

Найти функцию времени, соответствующую изображению: \( F(s) = \frac{1}{s - 2} \)

Команда для калькулятора:

InverseLaplaceTransform[1/(s - 2), s, t]

Результатом будет экспоненциальная функция \(e^{2t}\).

Задача: обратное преобразование рациональной функции

Найти оригинал функции: \( F(s) = \frac{s}{s^2 + 9} \)

Команда для калькулятора:

InverseLaplaceTransform[s/(s^2 + 9), s, t]

Такой запрос соответствует восстановлению косинусоидального сигнала.