Решение систем линейных дифференциальных уравнений

Чтобы получить общее решение системы дифференциальных уравнений, достаточно просто ввести эти уравнения в систему. Обратите внимание, производная обозначается штрихом. Нажав на кнопку "Решить" получите решение.

Линейные системы дифференциальных уравнений первого порядка

Линейной системой первого порядка называют систему, в которой неизвестные функции входят линейно, а производные имеют первый порядок. Такие системы широко применяются в механике, электротехнике и теории управления.

Пример однородной линейной системы

Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} x'(t) = 2x(t) + y(t), \\ y'(t) = x(t) + 2y(t) \end{cases} $$

x′(t) = 2x(t) + y(t), y′(t) = x(t) + 2y(t)

Команда возвращает общее аналитическое решение системы в виде комбинации экспоненциальных функций.

Система с начальными условиями

Добавим начальные условия:

x(0) = 1, y(0) = 0

Команда для калькулятора:

x′(t) = 2x(t) + y(t), y′(t) = x(t) + 2y(t), x(0) = 1, y(0) = 0

В результате получается частное решение, соответствующее заданному начальному состоянию системы.

Неоднородные линейные системы

В неоднородных системах в правых частях присутствуют функции времени. Такие системы часто возникают при внешнем воздействии на процесс.

Пример неоднородной системы

$$ \begin{cases} x'(t) = x(t) + y(t) + e^{t}, \\ y'(t) = 2x(t) - y(t) \end{cases}$$

Команда для калькулятора:

x'(t) = x(t) + y(t) + e^{t}, \\ y'(t) = 2x(t) - y(t)

Линейные системы второго порядка

Системы второго порядка часто встречаются при моделировании колебаний и механических связей. В линейном случае они также допускают аналитическое решение.

Пример системы второго порядка

$$ \begin{cases} x''(t) + 3x'(t) + 2x(t) = 0, \\ y''(t) + 4y(t) = 0 \end{cases} $$

Команда для калькулятора:

x″(t) + 3x′(t) + 2x(t) = 0, y″(t) + 4y(t) = 0