Задача. Пусть дано квадратное уравнение в общем виде: \(ax^2+bx+c=0\). Требуется найти корни этого уравнения.
Теория. Это обычная типовая школьная задача. В зависимости от значения коэффициентов возможны три варианта: 1) уравнение имеет два разных корнях (дискриминант больше нуля); 2) уравнение имеет два совпадающих корня (дискриминант равен нулю); 3) уравнение не имеет действительных корней (дискриминант меньше нуля). В этом случае будут выданы комплексные корни (это знают студенты, а в школе обычно говорят, что корней нет). Для решения квадратного уравнения используют формулы (находим дискриминант, а затем корни):
\[D=\sqrt{b^2-4ac}, X_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\]Покажем, как можно решать квадратные уравнения с помощью нашего онлайн математического блокнота. Для этого рассмотрим уже конкретный пример с заданными коэффицентами, но вы можете использовать готовый шаблон блокнота с решением для того, что подставить ваши коэффициенты. Строки и поля в блокноте редактируемы.
Пример. Пусть дано квадратное уравнение \(2x^2+8x+6=0\)
Инструкция. Число \(a\) не должно быть равно нулю, иначе квадратное уравнение не имеет смысла. Если данные будут введены не верно, то появится сообщение об ошибке. Чтобы восстановить исходный пример просто перезагрузите страницу (клавиша F5). После ввода данных в строку следует нажать клавишу "Enter" для выполнения вычислений.
Попробовать полный математический блокнот MathPad в работе можно здесь.
Где применяются формулы Виета
Формулы Виета используют не только для школьных задач на нахождение корней квадратного уравнения. В вычислительной математике и программировании они позволяют быстро проверять корректность вычислений без повторного решения уравнения. Например, если алгоритм нашёл два корня численно, то их сумму и произведение можно сравнить с коэффициентами уравнения — это простой способ обнаружить ошибки округления. Программистам стоит оценить этот трюк. При вычислениях корней в уранениях с маленькими коэффициентами или близкими значениями погрешность может расти. Проверку результата можно сделать без повторного вычисления корней, а просто сложив их чтобы оценить возникшую погрешность. Интересно, что некоторые задачи оптимизации можно решать “в обратную сторону”: сначала задают желаемые свойства суммы и произведения решений, а затем строят само уравнение. Такой подход используется в генераторах тестов, криптографических схемах и даже в компьютерной графике при расчётах траекторий и пересечений объектов.
