Задача. Доказать, что
\(
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } a_n = a
\)
(указать \(
N(\varepsilon )
\)).
\[
a_n = \frac{{1 - 2n^2 }}
{{2 + 4n^2 }},a = - \frac{1}
{2},\varepsilon > 0
\]
Решение.
\[
\left| {a_n - a} \right| = \left| {\frac{{1 - 2n^2 }}
{{2 + 4n^2 }} + \frac{1}
{2}} \right| < \varepsilon ,\left| {\frac{{2 - 4n^2 + 2 + 4n^2 }}
{{2(2 + 4n^2 )}}} \right| < \varepsilon ,
\]
\[
\frac{4}
{{2(2 + 4n^2 )}} < \varepsilon ,n > \sqrt {\frac{1}
{{2\varepsilon }} - \frac{1}
{2}} ,N(\varepsilon ) = \left[ {\frac{1}
{{2\varepsilon }} - \frac{1}
{2}} \right]
\]
при \(
\forall n > N(\varepsilon )
\)
выполняется неравенство
\(
\left| {a_n - a} \right| < \varepsilon
\)
,
следовательно
\[
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{1 - 2n^2 }}
{{2 + 4n^2 }} = \frac{1}
{2}.
\]
Задача. Вычислить предел числовой последовательности \[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{(6 - n)^2 - (6 + n)^2 }} {{(6 + n)^2 - (1 - n)^2 }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{(36 - 12n + n^2 ) - (36 + 12n + n^2 )}} {{(36 + 12n + n^2 ) - (1 - 2n + n^2 )}} \] \[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{ - 24n}} {{14n + 35}} = = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{ - 24}} {{14 + 35/n}} = - \frac{{24}} {{14}} = - \frac{{12}} {7} \]
Задача. Вычислить предел числовой последовательности. \[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt[3]{{n^2 - 1}} + 7n^3 }} {{\sqrt[4]{{n^{12} + n + 1}} - n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt[3]{{\frac{1} {{n^7 }} - \frac{1} {{n^9 }}}} + 7}} {{\sqrt[4]{{1 + \frac{1} {{n^{11} }} + \frac{1} {{n^{12} }}}} - \frac{1} {{n^2 }}}} = 7. \]
Задача. Вычислить предел числовой последовательности. \[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n(\sqrt {n^2 + 1} - \sqrt {n^2 - 1} ) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n(\sqrt {n^2 + 1} - \sqrt {n^2 - 1} )(\sqrt {n^2 + 1} + \sqrt {n^2 - 1} }} {{\sqrt {n^2 + 1} + \sqrt {n^2 - 1} }} = \] \[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n(n^2 + 1 - n^2 + 1)}} {{\sqrt {n^2 + 1} + \sqrt {n^2 - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{2n}} {{\sqrt {n^2 + 1} + \sqrt {n^2 - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{2} {{\sqrt {1 + 1/n^2 } + \sqrt {1 - 1/n^2 } }} = 1. \]
