Задача. Вычислить предел числовой последовательности $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n(\sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt {{n^2} - 1} ) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n(\sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt {{n^2} - 1} )(\sqrt {{n^2} + 1} + \sqrt {{n^2} - 1} }}{{\sqrt {{n^2} + 1} + \sqrt {{n^2} - 1} }} = $$ $$ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n({n^2} + 1 - {n^2} + 1)}}{{\sqrt {{n^2} + 1} + \sqrt {{n^2} - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{2n}}{{\sqrt {{n^2} + 1} + \sqrt {{n^2} - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{2}{{\sqrt {1 + 1/{n^2}} + \sqrt {1 - 1/{n^2}} }} = 1.$$

---

Задача. Вычислить предел числовой последовательности $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{(2n + 1)! + (2n + 2)!}}{{(2n + 3)! - (2n + 2)!}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{1 + (2n + 2)}}{{(2n + 2)(2n + 3) - (2n + 2)}} = $$ $$ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{2n + 3}}{{4{n^2} + 8n + 4}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{2}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}}}{{4 + \frac{8}{n} + \frac{4}{{{n^2}}}}} = 0.$$

---

Задача. Вычислить предел числовой последовательности $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{2n + 3}}{{2n + 1}}} \right)^{n + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{2}{{2n + 1}}} \right)^{n + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{2}{{2n + 1}}} \right)^{\frac{{2n + 1}}{2} \cdot \frac{2}{{2n + 1}} \cdot (n + 1)}} = $$ $$ = {e^{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{2n + 2}}{{2n + 1}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{2 + 2/n}}{{2 + 1/n}}}} = e.$$

---

Задача . Доказать (найти \(\delta (\varepsilon )\) ), что $$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{7{x^2} + 8x + 1}}{{x + 1}} = - 6.$$ Решение $$\left| {\frac{{7{x^2} + 8x + 1}}{{x + 1}} + 6} \right| < \varepsilon ,$$ $$\left| {\frac{{7{x^2} + 8x + 1}}{{x + 1}} + 6} \right| = \left| {7x + 1 + 6} \right| = 7\left| {x + 1} \right| < \varepsilon ,$$ $$\left| {x + 1} \right| < \varepsilon /7.$$ При \(\varepsilon > 0,\delta (\varepsilon ) = \varepsilon /7.\) Это значит, что при \(x \to - 1\) функция имеет пределом число - 6.

---

Настроить отображение математических формул

---