Задача. Вычислить предел функции.
$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\left( {\frac{{2x - 1}}{x}} \right)^{1/(\root 3 \of x - 1)}} = {1^\infty } = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\left( {1 + \frac{{x - 1}}{x}} \right)^{1/(\root 3 \of x - 1)}} = $$
$$\mathop { = \lim }\limits_{x \to 1} {\left( {1 + \frac{{x - 1}}{x}} \right)^{\frac{x}{{x - 1}} \cdot \frac{{x - 1}}{{x(\root 3 \of x - 1)}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{x(\root 3 \of x - 1)}}}} = $$
$$ = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1)(\root 3 \of {{x^2}} + \root 3 \of x + 1)}}{{x(\root 3 \of x - 1)(\root 3 \of {{x^2}} + \root 3 \of x + 1)}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1)(\root 3 \of {{x^2}} + \root 3 \of x + 1)}}{{x(x - 1)}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\root 3 \of {{x^2}} + \root 3 \of x + 1}}{x}}} = {e^3}.$$
Задача. Вычислить предел функции. $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {(\sin x)^{3/(1 + x)}} = {(\sin 2)^1} = \sin 2.$$
Задача. Вычислить предел числовой последовательности $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{2n - \sin n}}{{\sqrt n - \root 3 \of {{n^3} - 7} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{2 - \sin n/n}}{{\sqrt n /n - \root 3 \of {{n^3} - 7} /n}} = \frac{2}{{ - 1}} = - 2.$$
