Задача 1. Вычислить производную функции \(y=x^2 \) при \(x=3 \).
Решение. Проведем решение этой задачи двумя способами:
1) сначала найдем производную как функцию \(x \) а потом вычислим ее значение при \(x=3 \), т. е.,
\(y'(3) \)
2) значение производной будем вычислять, исходя из значения \(x=3 \): \(y=x^2 \), т. е. \(f(x)=x^2 \);
$$f(x+\Delta x)=(x+\Delta x)^2=x^2+2x\Delta x+\Delta x^2$$
Теперь найдем приращение функции
\(\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=x^2+2x \Delta x+ \Delta x^2 =x^2=2x \Delta x+ \Delta x^2=(2x+ \Delta x) \Delta x\).
Разделим теперь приращение функции \(\Delta y\) на приращение аргумента \(\Delta x\):
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(2x+ \Delta x) \Delta x}{\Delta x}; \frac{\Delta y}{\Delta x}=2x+ \Delta x.$$
В этом месте мы можем сказать, что найденное отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) есть не что иное, как средняя скорость изменения данной функции \(f(x)=x^2 \) в промежутке \((x, x + \Delta x).\)
Для того чтобы найти производную \(x'\) этой функции, нужно найти предел полученного отношения при \(\Delta x\rightarrow 0.\). Переходя к пределу, получаем
$$y'=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(2x+ \Delta x)=2x$$
(еще раз напоминаем, что здесь при отыскании предела величину л: мы должны считать постоянной).
Итак, \(x'=2x\).
При \(x=3\) значение производной \(y'(3) =2\cdot3=6\). Найденное число 6 есть не что иное, как скорость изменения функции \(f(x)=x^2 \) при \(x=3\).
2) Найдем теперь значение производной данной функции \(x=3\), минуя нахождение производной, как функции \(x\):
У нас \(f(x)=x^2; f(3)=3^2.\)
Перейдем от значения \(x=3\) к значению \(x=3+ \Delta x;\)
$$f(3+ \Delta x)=(3+ \Delta x)^2; f(3)=9;$$
$$\Delta y=f(3+ \Delta x) - f(3) = (3+ \Delta x)^2-9=6 \Delta x +( \Delta x)^2 =(6+ \Delta x) \Delta x;$$
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=0+ \Delta x; y'(3)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(6+ \Delta x)=6.$$
Найдя производную \(y'(3)\), мы нашли и тангенс угла между положительными направлениями оси \(Ox\) и касательной к графику функции \(y=x^2 \) в точке с абсциссой \(x=3 \), т. е. угловой коэффициент касательной к параболе \(y=x^2 \) в точке с абсциссой \(x=3 \).
Задача 2. Точка движется по прямой по закону \(S=t^3\), где \(S\) — путь, измеряемый в сантиметрах, а \(t\) — время в секундах. Найти среднюю скорость точки за время от \(t=2\) сек до \(t_{1}=(2+ \Delta t)\) сек, считая, что \(\Delta t=1; 0,5; 0,01; 0,001\). Вычислить также истинную скорость точки в момент \(t=2\) сек.
Решение. Согласно результату предыдущей задачи, если \(y=x^3\), то \(\Delta y=3x^2 \Delta x + 3x \Delta x^2 + \Delta x^3\). Так как в задаче, которую мы решаем, функция обозначена буквой \(S\), а аргумент буквой \(t\), то выражение для \(\Delta y\) надо переписать, заменив \(y\) на \(S\), а \(z\) на \(t\):
$$\Delta S=3t^2 \Delta t +3t \Delta t^2 + \Delta t^3,$$
а средняя скорость будет равна
$$V_{cp}= \frac{\Delta S}{\Delta t}=3t^2 +3t \Delta t + \Delta t^2,$$
Если \(\Delta t=1\) сек, то, приняв, что \(\Delta t=2\) сек, получим
\(V_{cp}=3\cdot 2^2+3\cdot 2\cdot 1+1^2=19\) см/сек;
при \(t=2\) сек, а \(\Delta t=0,01\) сек:
\(V_{cp}=3\cdot 2^2+3\cdot 2\cdot 0,01+(0,01)^2=12,0601\) см/сек;
при \(t=2\) сек, а \(\Delta t=0,001\) сек:
\(V_{cp}=3\cdot 2^2+3\cdot 2\cdot 0,001+(0,001)^2=12,006001\) см/сек.
Найдем теперь истинную скорость в момент времени \(t=2\) сек. У нас
$$V_{cp}=3t^2+3t \Delta t + \Delta t^2.$$
Истинная скорость будет равна
$$V=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} V_{cp}=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}(3t^2+3t \Delta t + \Delta t^2)=3t^2.$$
При \(t=2\) сек получаем \(V=3\cdot 2^2=12\) см/сек.
Все полученные нами средние скорости отличаются от истинной, но из рассмотрения полученных значений средних скоростей мы приходим к выводу, что они тем ближе к истинной скорости в момент \(t=2\) сек, чем меньше \(\Delta t\).
