Условие задачи: $$\frac{(n+1)!}{n}+n^2<{\sum_{k=1}^{n}{k!}}<\frac{(n+1)!}{n-1}-n^2, n\geq 7.$$ Доказательство: Докажем сначала левое неравенство. 1) При \(n=7\) имеем: $$\frac{8!}{7}+49<1!+2!+3!+4!+5!+6!+7!\Leftrightarrow 5809<5913,$$ что является правильным. 2) Предположим, что неравенство выполняется при \(n=m>7\), т.е. правильно неравенство $$\frac{(m+1)!}{m}+m^2<\sum_{k=1}^{m}{k!}.$$ Тогда имеем: $$\sum_{k=1}^{m+1}{k!} = \sum_{k=1}^{m}{k!} + (m+1)!>\frac{(m+1)!}{m}+m^2+(m+1)!>\frac{(m+2)!}{m+1}+(m+1)^2.$$ Последнее неравенство выплывает из таких элементарных преобразований: $$\frac{(m+1)!}{m}+m^2+(m+1)!>\frac{(m+2)!}{m+1}+(m+1)^2\Leftrightarrow$$$$\Leftrightarrow \frac{1}{m}+1>\frac{m+2}{m+1}+\frac{2m+1}{(m+1)!}\Leftrightarrow\frac{1}{m}>\frac{1}{m+1}+\frac{2m+1}{(m+1)!}\Leftrightarrow$$$$\Leftrightarrow \frac{1}{m(m+1)}>\frac{2m+1}{(m+1)!}\Leftrightarrow 1>\frac{2m+1}{(m-1)!},$$ что справедливо при \(m\geq 7\). Таким образом, утверждение доказано для n=m+1 и на основе принципа математической индукции делаем вывод, что левое неравенство справедливо для любого натурального \(n\). Теперь докажем правое неравенство. 1) При \(n=7\) имеем: $$1!+2!+3!+4!+5!+6!+7!<\frac{8!}{6}-49\Leftrightarrow 5913<6671,$$ что является правильным. 2) Предположим, что неравенство выполняется при \(n=m+7\), т.е. правильно неравенство $$\sum_{k=1}^{m}{k!}<\frac{(m+1)!}{m-1}-m^2.$$ Имеем: $$\sum_{k=1}^{m+1}{k!}=\sum_{k=1}^{m}{k!}+(m+1)!<\frac{(m+1)!}{m-1}-m^2+(m+1)!<\frac{(m+2)!}{m}-(m+1)^2.$$ Последнее неравенство выплывает из таких элементарных преобразований: $$\frac{(m+1)!}{m-1}-m^2+(m+1)!<\frac{(m+2)!}{m}-(m+1)^2\Leftrightarrow$$$$\Leftrightarrow \frac{1}{m-1}+1<\frac{m+2}{m}-\frac{2m+1}{(m+1)!}\Leftrightarrow \frac{1}{m-1}<\frac{2}{m}-\frac{2m+1}{(m+1)!}\Leftrightarrow$$$$\Leftrightarrow \frac{2m+1}{(m+1)!}<\frac{m-2}{m(m-1)}\Leftrightarrow \frac{2m+1}{(m+1)(m-2)!},$$ что правильно при \(m\geq 7\). Таким образом, утверждение доказано для $$n=m+1$$ и на основе принципа математической индукции делаем вывод, что начальное неравенство справедливо для любого натурального \(n\). Искомое неравенство полностью доказано.

---