Задача
Установить четность или нечетность функций:
1) \(f(x)=x^2\sqrt[3]{x}+2 \sin x;\)
2) \(f(x)=2^x+2^{-x};\)
3) \(f(x)=|x|-5e^{x^{2}};\)
4) \(f(x)=x^2+5x;\)
5) \(f(x)=\lg \frac{x+3}{x-3}.\)
Решение
В рассматриваемых примерах область определения каждой из функций симметрична относительно нуля: в первых четырех примерах \(D(f)=]-\infty , + \infty [,\) а в последнем \(D(f)=]-\infty ,-3[\cup ] 3, + \infty [.\)
1) Заменяя \(x\) на \(-x,\) получим \(f(-x)=(-x)^2\sqrt[3]{(-x)}+2 \sin (-x) = -x^2\sqrt[3]{x}-2 \sin x,\) т.е. \(f(-x)=-f(x).\) Значит, данная функция является нечетной.
2) Имеем \(f(-x)=2^{-x}+2^{-(-x)}=2^{-x}+2^x,\) т.е. \(f(-x)=f(x).\) Итак, данная функция – четная.
3) Здесь \(f(-x)=|x|-5e^{(-x)^2}=|x|-5e^{x^2},\) т.е. \(f(-x)=f(x).\) Следовательно, \(f(x)\) - четная функция.
4) Имеем \(f(-x)=(-x)^2+5(-x)=x^2-5x.\) Таким образом, \(f(-x) \neq f(x)\) и \(f(-x) \neq -f(x),\) т.е. заданная функция не является ни четной, ни нечетной.
5) Находим
$$f(-x)=\lg \frac{-x+3}{-x-3}= \lg \frac{x-3}{x+3}= \lg \left( \frac{x+3}{x-3} \right)^{-1}=-\lg \frac{x+3}{x-3},$$
т.е \(f(-x)=-f(x),\) и, следовательно, данная функция - нечетная.
