Приклад № 1
Знайти повний диференціал функції $$u=x^2y+3y^3z-4z^3+2.$$
Розв'язання:
Знаходимо частині похідні \(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}:\) $$\frac{\partial u}{\partial x}= 2xy, \frac{\partial u}{\partial y}= x^2+9y^2z, \frac{\partial u}{\partial z}= 3y^2-12z^2.$$ Враховуючи, що $$du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy+\frac{\partial u}{\partial z} dz,$$ маємо $$du = 2xy dx +(x^2+9y^2z)dy+(3y^2-12z^2)dz$$
Приклад №2
Обчислити наближено за допомогою повного диференціала \(\sqrt{(4.05)^2+(2.97)^2}.\)
Розв'язання:
Розгялнемо функцію \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\) і застосуємо до неї формулу $$f(x+\Delta x,y+\Delta y)\approx f(x,y)+ \frac{\partial f}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}\Delta y,$$ поклавши \(x = 4, y = 3, \Delta x = 0.005, \Delta y = -0.03.\)
Врахуємо, що $$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}; \; \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}};$$ $$f(4,3) = \sqrt{4^2+3^2} = 5; \; \frac{\partial f (4,3)}{\partial x} = \frac{4}{5}; \; \frac{\partial f (4,3)}{\partial y} = \frac{3}{5}.$$ $$\sqrt{(4.05)^2+(3.07)^2} \approx 5 +\frac{4}{5} \cdot 0.05+\frac{3}{5}\cdot (-0.03) =$$$$= 5+\frac{0.20-0.09}{5} = 5 + \frac{0.11}{5} = 5+0.022 = 5.022.$$
Отже, \(\sqrt{(4.05)^2+(3.07)^2} \approx 5.022.\)

Приклад № 3
Знайти \(\frac{\partial u}{\partial t},\) якщо \(u=xyz,\) де \(x=t^2+1, y=\ln t, z=\tan t .\)
Розв'язання:
Скористаємося формулою $$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial t}.$$
Маємо: $$\frac{\partial u}{\partial t} = yz\cdot 2t+xz\cdot \frac{1}{t} + xy\cdot \frac{1}{\cos^2 t}$$ Далі, виразивши x,y,z через t, отримуємо $$\frac{\partial u}{\partial t} = 2t\ln t \cdot \tan t + (t^2 + 1)\tan t \cdot \frac{1}{t} + (t^2+1)\ln t \cdot \frac{1}{\cos^2 t}.$$
Зауважимо, що результат буде той же самий, якщо попередньо підставити замість x та y їхні значення, а потім знайти звичайну похідну по t.