Знайти загальний розв'язок рівняння:
$$y''=\frac{1}{\cos^2x}$$
та його частинний розв'язок, який задовольняє початкові умови
$$y\left(\frac{\pi}{4} \right)=\frac{\ln 2}{2},\;y'\left(\frac{\pi}{4} \right)=1.$$
Розв'язання:
Маємо задачу Коші для диференціального рівняння другого порядку \(y''=\frac{1}{\cos^2x}\) вигляду \(y^{(n)}=f(x),\) де \(n=2, \;f(x)=\frac{1}{\cos^2x}.\)
Розв'язуємо задане рівняння послідовним інтегруванням його лівої та правої частин. Інтегруючи перший раз, маємо:
$$y'=\tan x+C_1.$$
Повторне інтегрування дає загальний розв'язок:
$$y=-\ln|\cos x|+C_1x+C_2.$$
Знайдемо \(С_1,\;С_2\), скориставшись початковими умовами. Покладемо у виразах, що визначають \(у\) та \(y',x=\frac{\pi}{4}\).
Отримаємо систему для визначення сталих \(C_1,C_2\):
$$\begin{cases}
& \frac{\ln 2}{2}=-\ln \left|\cos\frac{\pi}{4} \right|+C_1\frac{\pi}{4}+C_2, \\
& 1=\tan \frac{\pi}{4}+C_1,
\end{cases}\;
\begin{cases}
& \frac{\ln 2}{2}=-\ln \frac{\sqrt2}{2}+C_1\frac{\pi}{4}+C_2, \\
& 1=1+C_1,
\end{cases}$$
$$\begin{cases}
& \frac{\ln 2}{2}=-\left (\frac{1}{2}\ln 2-\ln2 \right)+C_2, \\
& C_1=0,
\end{cases}\;\begin{cases}
& \frac{\ln 2}{2}=\frac{\ln2}{2}+C_2, \\
& C_1=0 ,
\end{cases}\;\begin{cases}
& C_2=0, \\
& C_1=0.
\end{cases}$$
Отже, частинний розв'язок заданого рівняння, що задовольняє задані початкові умови має вигляд:
$$y =-\ln|\cos x|.$$
