Розв'язати рівняння $$(y'')^3+3y''-x=0.$$
Розв'язання:
Це рівняння вигляду $$F(x,y^{(n)})=0.$$
Представимо рівняння у вигляді: $$x=(y'')^3+3y''.$$
Поклавши \(t=y'',\) маємо $$x=t^3+3t,\;dx=(3t^2+3)dt.$$
Інтегруємо рівняння \(y''=t,\) для якого \(y=y(x):\) $$y'=\int t\;dx = \int t(3t^2+3)dt=\frac{3}{4}t^4+\frac{3}{2}t^2+C_1,$$ $$dy= \left(\frac{3}{4}t^4+\frac{3}{2}t^2+C_1 \right)dx= $$ $$=\left( \frac{3}{4}t^4+\frac{3}{2}t^2+C_1 \right)(3t^2+3)dt=$$ $$=3 \left(\frac{3}{4}t^6+\frac{9}{4}t^4+\left( C_1+\frac{3}{2} \right)t^2+C_1 \right)dt$$
Інтегруючи, маємо: $$y=\frac{9}{28}t^7+\frac{27}{20}t^5+ \left(C_1+\frac{3}{2} \right)t^3+3C_1t+C_2.$$
Отже, загальний розв'язок заданого рівняння у параметричній формі має вигляд: $$x=t^3+3t,\;y=\frac{9}{28}t^7+\frac{27}{20}t^5+ \left( C_1+\frac{3}{2} \right)t^3+3C_1t+C_2.$$

---