Знайти загальний розв'язок рівняння:
$$y^{(4)} = \cos 2x.$$
Розв'язання:
Це рівняння вигляду \(y^{(n)} = f(x)\) де \(n = 4,\;f(x)=\cos 2x.\)
Послідовно інтегруючи задане рівняння, отримуємо^
$$y''=\int \cos 2x dx=\frac{1}{2} \sin 2x+C_1,$$
$$y''=\int\left(\frac{1}{2} \sin 2x+C_1 \right)dx=-\frac{1}{4} \cos 2x+C_1x+C_2,$$
$$y'=\int \left(-\frac{1}{4}\cos 2x+C_1x+C_2 \right)dx=-\frac{1}{8} \sin 2x+\frac{C_1}{2}x^2+C_2x+C_3,$$
$$y=\int \left(-\frac{1}{8} \sin 2x+\frac{C_1}{2}x^2+C_2x+C_3 \right)dx=$$
$$=\frac{1}{16} \cos 2x+\frac{C_1}{6}x^3+\frac{C_2}{2}x^2+C_3x+C_4.$$
Знайти загальний розв'язок рівняння:
$$y^{(5)}-\frac{1}{x}y^{(4)}=0.$$
Розв'язання:
Маємо рівняння, яке допускає зниження порядку, вигляду
$$F(x,y^{(k)},y^{(k+1)},...,y^{(n)})=0,$$
що не містить функції у та її похідних до 3-го порядку включно.
Отже, поклавши
$$y^{(4)}=\frac{d ^4y}{d x^4}=p(x),$$
маємо
$$\frac{d p}{d x}-\frac{1}{x}p=0.$$
Відокремивши змінні і проінтегрувавши, дістанемо:
$$\ln|p|=\ln|x|+\ln|C|,\;p=Cx.$$
Враховуючи підстановку, дістанемо рівняння:
$$\frac{d ^4y}{d x^4}=Cx,$$
проінтегрувавши яке, отримуємо загальний розв'язок:
$$y=C_1x^5+C_2x^3+C_3x^2+C_4x+C_5.$$
