Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят явно производные искомых функций до некоторого порядка. Если неизвестными являются функции двух или более переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных. В противном случае, то есть если искомая функция зависит только от одного вещественного независимого переменного, уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. В этом курсе будем иметь дело только с последними.

Так как во многих физических приложениях независимым переменным, от которого зависят неизвестные искомые функции, является время, то в дальнейшем, как правило, независимое переменное будет обозначаться через \(t)\. Неизвестные функции будут обозначаться через \(x\), \(y\) , \(z\) и т.д.

Рассмотрим в первую очередь одно дифференциальное уравнение первого порядка. Общий вид такого уравнения следующий:

$$F(t,x\frac{dx}{dt})=0$$

Здесь \(t\); - независимое переменное, \(x\); - неизвестная функция, зависящая от \(t\).

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференциальная функция \(y=\varphi (x)\) , которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество. Процес нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Пример 1. Решить уравнение \(x(y^2-4)dx+ydy=0.\)

Разделив обе части уравнения на \(y^2-4\neq 0\), имеем

$$xdx+\frac{ydy}{y^2-4}=0$$

Интегрируя, находим

\(x^2+\ln \left|y^2-4 \right|=\ln \left|C \right|,\) или \(y^2-4=Ce^{-x^2}\)

Это общее решение данного дифференциального уравнения.

Пусть теперь \(y^2-4=0\) т.е. \(y=\pm 2\) . Непосредственной подстановкой убеждаемся, что \(y=\pm 2\) - решение исходного уравнения. Но оно не будет особым решением, так как его можно получить из общего решения при \(C=0\).

Пример 2. Найти частный интеграл уравнения \(y^{'}\cos x=y/\ln y,\) удовлетворяющий начальному условию \(y(0)=1\).

Полагая \(y^{'}\frac{dy}{dx},\) перепишем данное уравнение в виде $$\cos x\frac{dy}{dx}=\frac{y}{\ln y}.$$

Разделяем переменные :

$$\frac{\ln y}{y}dy=\frac{dx}{\cos x}.$$

Проинтегрируем обе части уравнения

$$\int \frac{\ln y}{y}dy=\int \frac{dx}{\cos x},$$

или

$$\frac{1}{2}\ln ^2y=\ln tg \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right)+C.$$

Используя начальное условие \(y=1\) при \(x=0\), находим \(C=0\) . Окончательно получаем

$$\frac{1}{2}\ln ^2y=\ln tg \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right).$$

Пример 3. Найти общий интеграл уравнения \(y^{'}=\tan x\tan y.\)

Полагая \(y^{'}\frac{dy}{dx},\) и разделяя переменные, приходим к уравнению \(ctgydy=\tan xdx.\) Итнегрируя имеем

\(\int ctgydy=\int \tan xdx\) или \(\ln \left|\sin y \right|=-\ln \left|\cos x \right|+\ln C.\)

Отсюда находим \(\sin y=C/\cos x,\) или \(\sin y\cos x=C.\)

Пример 4. Найти кривые, у которых сумма длин нормали и поднормали если величина постоянная, равна \(\alpha\)

Длина поднормали равна \(\left|yy' \right|\) , а длина нормали равна \(\left|y\sqrt{1+y^{'2}} \right|\) . Таким образом, уравнение, которому должны удовлетворять искомые кривые, имеют вид

$$\left|yy' \right| + \left|y\sqrt{1+y^{'2}} \right|=\alpha$$

Разрешая его относительно \(y'\), находим (учитывая оба возможных знака):

$$y' =\pm \frac{a^2-y^2}{2ay}.$$

Разделяем переменные:

$$\frac{2ydy}{a^2-y^2}=\pm \frac{dx}{a}.$$

Интегрируя, получаем общий интервал

$$\ln \left|a^2-y^2 \right|=\mp x/a+\ln C.$$

Выполнив потенцирование, проводим уравнение искомых кривых к виду

$$y^2=a^2-Ce^{\mp x/a}.$$

Условию задачи отвечают только значения \(C>0\). в самом деле, из уравнения семейства кривых находим:

$$\left|yy^{'} \right|=\frac{\left|a^2-y^2 \right|}{2a},\left|y\sqrt{1+y^{'2}} \right|=\frac{a^2+y^2}{2a}.$$

Поэтому для выполнения условия \(\left|yy^{'} \right|+\left|y\sqrt{1+y^{'2}} \right|=a\) , нужно, что бы \(\left|a^2-y^2 \right|=a^2-y^2\), отсюда следует, что \(C\) принимает только положительные значения.

2012-12-15 • Просмотров [ 7475 ]