Задача 1. \(\sqrt{y^2+1}dx=xydy.\)

Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными. Деля обе его части на произведение \(\sqrt{y^2+1}\cdot x\), получаем

$$\frac{dx}{x}=\frac{ydy}{\sqrt{y^2+1}},\; x\neq 0,$$

откуда

$$\int {\frac{dx}{x}}=\int {\frac{ydy}{\sqrt{y^2+1}}}+C,$$

или

$$\ln\left|x \right|-\sqrt{y^2+1}=C.$$

Таким образом, все решения данного уравнения имеют вид

$$\ln\left|x \right|-\sqrt{y^2+1}=C,\; x=0.$$

Задача 2. \((x^2-1)y'+2xy^2=0,\; y(0)=1.\)

Решение. Сначала находим все решения этого уравнения. Имеем

$$(x^2-1)dy+2xy^2dx=0,$$

откуда, разделив переменные \(x\) и \(y\), получаем

$$\frac{dy}{y^2}+\frac{2xdx}{x^2-1}=0.$$

Интегрируя обе части полученного уравнения, находим

$$-\frac{1}{y}+ \ln \left|x^2-1 \right|=C.$$

Для получения всех решений исходного уравнения к последнему семейству интегральных кривых присоединим еше решение \(y=0.\)

Далее, из совокупности всех интегральных кривых выделим ту кривую, которая проходит через точку \((0,1)\). Полагая \(x=0\) и \(y=1\), находим \(C=-1.\) Таким образом, функция

$$y=\frac{1}{1+ \ln \left|x^2-1 \right|}$$

является решением поставленной задачи.

Задача 3. \(xy'+y=y^2,\; y(1)=0,5.\)

Решение. Записывая уравнение в виде

$$xdy+(y-y^2)dx=0$$

и разделяя переменные, имеем

$$\frac{dy}{y-y^2}+\frac{dx}{x}=0.$$

Интегрируя, получаем

$$xy(1-y)=C.$$

Заметим, что несмотря на деление обеих частей уравнения на \(x(y-y^2)\), его решения \(x=0,\: y=0\) и \(y=1\) не были потеряны. Наконец, подставив \(x=1,\: y=0,5\), находим \(C=\frac{1}{4}\). Следовательно, дифференцируемая кривая

$$4xy(1-y)-1=0$$

— решение поставленной задачи.

Задача 4. \(e^{-s}\left(1+\frac{ds}{dt} \right)=1.\)

Решение. Переписав уравнение в виде

$$\frac{ds}{dt}=e^s-1,$$

разделяем переменные \(s\) и \(t\):

$$\frac{ds}{e^s-1}=dt.$$

Проинтегрировав полученное уравнение, находим \(\ln \left|\frac{e^s-1}{e^s} \right|=t+ \ln C,\) или \(s=-\ln (1+Ce^t).\)

---