Задача 1. \((y+\sqrt{x^2-y^2})dx-xdy=0.\)

Решение. Здесь функции \(M(x,y)=y+\sqrt{x^2-y^2}\: (\left|x \right| \geq \left|y \right|), N(x,y)=-x\) однородные и имеют степень \(m=1\), так как

$$M(tx,ty)=ty+\sqrt{t^2(x^2-y^2)}=t\left(y+\sqrt{x^2-y^2} \right)=tM(x,y)$$

для \(t \geq 0\) (т.е. \(a=0\) и \(b=+ \infty\)), а

$$N(tx,ty)=-tx=tN(x,y)$$

для любого \(t\). Следовательно, данное уравнение однородное. Применив замену \(y=xu\), получаем \(dy=xdu+udx\), а уравнение преобразуется к виду

$$\left(xu+ \left|x \right|\sqrt{1-u^2} \right)dx-xdu=0.$$

Очевидно, что \(x=0\) является решением исходного уравнения, поэтому считая, что \(x \neq 0\), получим

$$\newcommand{\sgn}{\text{sgn}} \sgn x\sqrt{1-u^2}dx-xdu=0.$$

Разделяя переменные и затем интегрируя, находим:

$$\frac{dx}{\left|x \right|}=\frac{du}{\sqrt{1-u^2}},\; \sgn x\ln \left| x\right|=\arcsin \frac{y}{x}+C.$$

Принимая еще во внимание, что \(u=\pm 1\) (т. е. \(y=\pm x\)) также есть решения, окончательно записываем все решения данного уравнения:

$$\sgn x\ln \left| x\right|=\arcsin \frac{y}{x}+C,\; y=\pm x;\; x=0.$$

Задача 2. \(xy'=y(1+\ln y - \ln x).\)

Решение. Переписав уравнение в виде

$$xdy-y\left(1+\ln \frac{y}{x} \right)dx=0\; (x > 0, y > 0),$$

обнаруживаем, что функции \(M(x,y)=-y\left(1+\ln \frac{y}{x} \right)\) и \(N(x,y)=x\) однородные одной и той же степени \(m=1\). Поэтому, применив замену \(y=xu, dy=xdu+udx\), получим

$$xdu-u \ln udx=0.$$

Разделяя переменные и интегрируя, находим

$$\ln x - \ln \left|\ln u \right|=\ln C \; (u\neq 1),$$

или

$$y=xe^{Cx}.$$

Заметим, что решение \(y=x\), которое соответствует значению \(u=1\), входит в формулу семейства интегральных кривых при \(C=0\).

Задача 3. \(xydx+(y^2-x^2)dy=0,\; M(1,1).\)

Решение. В данном примере требуется найти кривую, которая удовлетворяла бы дифференциальному уравнению и проходила через точку \(M\).
Прежде всего, находим все решения этого уравнения. Полагая \(y=xu\), получаем

$$u^3dx+x(u^2-1)du=0.$$

Отсюда при \(u\neq 0\) интегрированием находим

$$\int {\frac{u^2-1}{u^3}du}+\int {\frac{dx}{x}}= \ln C, \; \ln \left|ux \right|+\frac{1}{2u^2}= \ln C,$$

или

$$x^2+2y^2 \ln \frac{\left|y \right|}{C}=0.$$

К полученному семейству присоединим еще кривую \(y = 0\). Далее, подставив \(x=1, y=1,\), имеем \(C=e^{\frac{1}{2}}\). Поэтому требуемая кривая имеет уравнение

$$x^2+y^2(\ln y^2-1)=0.$$