Задача: Решить дифференциальное уравнение \(y^{2}lnxdx-(y-1)xdy=0\).

Решение.
Разделим переменные. Для этого умножим уравнение на \(\frac{1}{y^{2}x}\):
\(\frac{y^{2}lnx}{y^{2}x}dx-\frac{(y-1)x}{y^{2}x}dy=0\)
\(\frac{lnx}{x}dx-\frac{(y-1)}{y^{2}}dy=0\)
Проинтегрируем обе части уравнения:
\(\int_{}^{}\frac{lnx}{x}dx-\int_{}^{}\frac{y-1}{y^{2}}dy=\int_{}^{}0dc.\)
Первый интеграл решаем с помощью подстановки \(t=lnx\), \(dt=\frac{1}{x}dx\):
\(\int_{}^{}\frac{lnx}{x}dx=\int_{}^{}tdt=\frac{t^{2}}{2}+C=\frac{ln^{2}x}{2}+C.\)
Второй интеграл разбиваем на два:
\(\int_{}^{}\frac{y-1}{y^{2}}dy=\int_{}^{}(\frac{1}{y}-\frac{1}{y^{2}})dy=ln|y|+\frac{1}{y}+C\)
Объединив решения этих интегралов мы получим общий интеграл дифференциального уравнения:
\(\frac{ln^{2}x}{2}-ln|y|-\frac{1}{y}=C\)

---