Дифференциальным уравнением \(n-\)го порядка называется уравнение вида

$$F(x,y,y^{'},...,y^{(n)})=0.$$

Решением такого уравнения служит всякая \(n\) раз дифференцируемая функция \(y=\varphi (x)\), которая обращает данное уравнение в тождество, т.е.

$$F[x,\varphi (x),\varphi ^{'}(x),\varphi ^{''}(x),...,\varphi ^{(n)}(x)]\equiv 0$$

Функция \(y=\varphi (x,C_1,C_2,C_3,...,C_n)\) называется общим решением данного дифференциального уравнения \(n-\)го порядка, если при соответствующем выборе любой задачи Коши, поставленной для данного уравнения.

Всякое решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях постоянных \(C_1,C_2,C_3,...,C_n\), называется частным решением этого уравнения.

Решение этого уравнения находится \(n-\) кратным интегрированием, а именно:

$$y^{(n)}=f(x),y^{(n-1)}=\int f(x)dx+C_1=f_1(x)+C_1,$$

$$y^{(n-2)}=\int [f_1(x)dx+C_1]dx=f_2(x)+C_1x+C_2,$$

$$y=f_n(x)+\frac{C_1}{(n-1)!}x^{n-1}+\frac{C_2}{(n-2)!}x^{n-2}+...+C_{n-1}x+C_n,$$

где $$f_n(x)=\int \int \int ...\int f(x)dx^n.$$

Так как \(\frac{C_1}{(n-1)!}\), \(\frac{C_2}{(n-2)!}\), ... являются постоянными величинами, то общее решение может быть записано и так :

$$y=f_n(x)+C_1x^{n-1}+C_2x^{n-2}+...+C_{n-1}x+C_n.$$

Пример 1. Найти частное решение уравнения \(y^{''}=xe^{-x}\) , удовлетворяющее начальным условиям \(y(0)=1,y^{'}(0)=0\).

Найдем общее решение последовательным интегрированием данного уравнения :

$$y^{'}=\int xe^{-x}dx=-xe^{-x}-e^{-x}+C_1,$$

$$y=\int [-xe^{-x}-e^{-x}+C_1]dx=xe^{-x}+2e^{-x}+C_1x+C_2,$$

или

$$y=(x+2)e^{-x}+C_1x+C_2.$$

Воспользуемся начальными условиями:\(1=2+C_2;C_2=-1;0=-1+C_1;C_1=1.\) Следовательно, искомое частное решение имеет вид

$$y=(x+2)e^{-x}+x-1.$$

Это же решение можно найти и следующим образом, используя сразу заданные начальные условия:

$$y^{'}=y^{'}(0)+\int_{0}^{x}{xe^{-x}}dx=[-xe^{-x}-e^{-x}]_0^x=--xe^{-x}-e^{-x}+1;$$

$$y=y(0)+\int_{0}^{x}{[-xe^{-x}-e^{-x}+1]}dx=1+[(x+2)e^{-x}+x]_0^x=(x+2)e^{-x}+x-1.$$

Порядок такого уравнения можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных данного уравнения, т.е. полагая \(y^{(k)}=z\). Тогда получим уравнение

$$F(x,z,z^{'},...,z^{(n-k)})=0.$$

Таким образом, порядок уравнения понижается на \(k\) единиц.

Пример 1. Найти общее решение уравнения \(xy^{''}=y^{'}\ln (y^{'}/x).\)

Полагая \(y^{'}=z\) , преобразуем уравнение вида

\(z^{'}x=z\ln (z/x)\) или \(z^{'}=(z/x)\ln (z/x)\).

Это однородное уравнение первого порядка. Полагая \(z/x=t\) , откуда \(z=tx\), \(z^{'}=t^{'}x+t,\) ,получим уравнение

$$t^{'}x+t=t\ln t, \frac{dt}{t(\ln t-1)}=\frac{dx}{x}.$$

Интегрируя, находим

$$\ln (\ln t-1)=\ln x +\ln C_1, \ln t-1=C_1x,$$

откуда \(t=e^{1+C_1x};\) возвращаясь к переменной \(y\) , приходим к уравнению \(y^{'}=xe^{1+C_1x}\). Следовательно

$$y=\int xe^{1+C_1x}dx=\frac{1}{C_1}xe^{1+C_1x}-\frac{1}{C_1^2}t^{1+C_1x}+C_2.$$

Пример 2. Найти \(y^{'}\) из уравнения \(y_2^{''}=b\sin y-ky^2\) при начальных условиях \(y(0)=0,y^{'}(0)=0.\)

Положим \(y^{'2}=z\);тогда \(2y^{'}y^{''}=z^{'}=y^{'}\frac{dz}{dy},\) т.е. \(y^{''}=\frac{1}{2}\frac{dz}{dy}.\)

Уравнение приймет вид

$$\frac{1}{2}\frac{dz}{dy}=b\sin y-kz.$$

Это линейное уравнение первого порядка относительно \(z\):

$$\frac{dz}{dy}+kz=2b\sin y.$$

Решая его методом Бернулли, т.е. используя подстановку \(z=uv\), получим

$$u\frac{dv}{dy}+v(\frac{du}{dy}+2ku)=2b\sin y;$$

$$\frac{dv}{dy}+2ku=0,u=e^{-2ky},dv=2be^{2ky}\sin ydy.$$

Интегрируя находим

$$v=\frac{2b}{1+4k^2}e^{2ky}(2k\sin y-\cos y)+C,$$

$$z=uv=Ce^{-2ky}+\frac{2b}{1+4k^2}(2k\sin y-\cos y)=y^{'2}.$$

Используя начальные условия \(C=\frac{2b}{1+4k^2},\) откуда получаем

$$y^{'}=\pm \sqrt {\frac{2b}{1+4k^2}(e^{-2ky}+2k\sin y-\cos y)}.$$

2012-12-16 • Просмотров [ 3416 ]