Задача 1. Найти производные функций:

$$1) y=x^4; 2) y=x^5; 3) y=\sqrt{x}; 4) y=\sqrt[4]{x^3}.$$

Решение. Полагая \(u=x\), имеем:

1) В этом примере показатель степени \(n=4\), а потому \(y'=4x^3\);

2) Здесь \(n=5\), а потому \(y'=5x^4\);

3) Если \(y=\sqrt{x}\), то, переписав пример в виде \(y=x^\frac{1}{2}\), получаем \(y'=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.\)

4) Пример можно переписать так:\(y=x^{\frac{3}{4}}.\) Здесь \(n=\frac{3}{4},\) а \(y'=\frac{3}{4}x^{\frac{3}{4}-1}=\frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}}=\frac{3}{4\sqrt[4]{x}}.\)

Задача 2. Найти производные функций:

$$1) y=5x^3; 2) y=-4x^2; 3) y=7\sqrt{x}; 4) y=\frac{8}{x^2}; 5) y=4\sqrt[3]{x^2}.$$

Решение. При решении всех этих примеров надо учесть, что постоянный множитель можно выносить за знак производной.

1) \(y'=5(x^3)'\) (здесь постоянный множитель 5 вынесен за знак производной); \(y'=5 \cdot 3x^2=15x^2((x^3)'=3x^2)\);

2) \(y'=-4(x^2)'=-4 \cdot 2x= -8x\) (постоянный множитель —4 вынесен за знак производной, а \((x^2)'=2x\);

3) \(y=7x^{\frac{1}{2}}; y'=7(x^{\frac{1}{2}})'=7 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=7\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{7}{2\sqrt{x}}\) (постоянный множитель 7 вынесен за знак производной, а \((x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\). Здесь можно было сразу воспользоваться формулой, и тогда, если \(y=7\sqrt{x}\), то \(y'=7\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{7}{2\sqrt{x}}.\)

Учащемуся рекомендуется запомнить (это очень часто встречается), что если \(y=\sqrt{x}\), то \(y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\).

4) Перепишем пример в виде \(y=8x^{-2}\), тогда \(y'=8(x^{-2})'=8(-2x^{-3}), y'=-\frac{16}{x^3}\) (постоянный множитель 8 вынесен за знак производной, а \((x^{-2})'=-2x^{-2-1}=-2x^{-3}\).

5) Данную функцию перепишем в виде \(y=4x^3\), тогда \(y'=4(x^\frac{2}{3})'=4 \cdot \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}=\frac{8}{3\sqrt[3]{x}}\).

Задача 3. Найти производные функций:

$$1) y=\frac{6}{\sqrt{x}}; 2) y=\frac{4}{\sqrt[3]{x^2}}; 3) y=-\frac{5}{4x^3}; 4) y=\frac{7\sqrt{x}}{8}.$$

Решение.. Здесь для решения всех примеров удобно применять формулы:

1) \(y'=-\frac{6}{(\sqrt{x})^{2}}(\sqrt{x})'=-\frac{6}{x}\frac{1}{2\sqrt{x}}=-\frac{3}{x\sqrt{x}};\)

2) \(y'=-\frac{4}{(\sqrt[3]{x^{2}})^{2}}(\sqrt[3]{x^{2}})'=-\frac{4}{\sqrt[3]{x^{4}}}(x^{\frac{2}{3}})'=-\frac{4}{x\sqrt[3]{x}}\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}=-\frac{8}{3x\sqrt[3]{x^{2}}};\)

3) \(y'=\frac{5}{(4x^3)^2}4(x^3)'= \frac{5}{16x^6}4(x^3)'=\frac{20}{16x^6}3x^2=\frac{15}{4x^4}\) (можно поступить и иначе: данную функцию переписать в виде
$$y=-\frac{5}{4}x^{-3}; y'=-\frac{5}{4}(x^{-3})'=-\frac{15}{4}x^{-4}=\frac{15}{4x^4});$$

4) \(y'=\frac{7}{8}\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{7}{16\sqrt{x}}.\)
Если дифференцируется дробь с постоянным знаменателем, то применять формулу для дифференцирования дроби не следует, а поступить надо так: взять производную только от числителя дроби, а знаменатель оставить без изменения:
$$y=\frac{u}{c}=\frac{1}{c}u; y'=\frac{1}{c}u'=\frac{u'}{c}.$$
Следует запомнить: производная от дроби с постоянным знаменателем равна производной числителя, разделенной на тот же знаменатель.

Задача 4. Найти производную функции \(y=(5x^2+7x+2)^3\).

Решение. Здесь мы имеем дело со сложной функцией. Положим \(u=5x^2+7x+2\), тогда \(y=u^3\). Следует писать так: \(y=u^3, u=5x^2+7x+2\).

Для того чтобы найти производную, воспользуемся формулой для дифференцирования сложной функции:

$$y'=3u^2u'=3(5x^2+7x+2)^2(5x^2+7x+2)'=3(5x^2+7x+2)^2 \cdot (10x+7).$$

Однако можно обойтись и без промежуточных записей, т. е. без введения переменной \(u\). Мы настоятельно рекомендуем читателю после того, как он сделает несколько упражнений, выполненных при помощи введения вспомогательной переменной, от введения такой переменной отказаться и дифференцирование выполнять сразу.

Задача 5. Найти производную функции \(y=(5x^3+4x^2+8)^4\).

Решение.
\(y'=u^4\), где \(u=5x^3+4x^2+8\). По формуле \(y'=4u^3u'=4(5x^3+4x^2+8)^3(15x^2+8x)\) (производная от 8 равна 0). Проведем решение без введения промежуточной переменной: \(y'=4(5x^3+4x^2+8)^3(15x^2+8x)\), где \(4(5x^3+4x^2+8)^3\) - производная степени, а \((15x^2+8x)\) - производная степени основания.

Задача 6. Найти производные функций:

$$1) у=(5x^2+7)^3; 2) y=(1+5x-8x^2)^5;$$
$$3) y=(a+bx)^m; 4) y=\left(1+2\sqrt{x}-\frac{3}{x^2}\right)^4.$$

Решение. Находим производные, введя сначала промежуточную переменную, а потом минуя ее введение:

\(1) y'=30x(5x^2+7)^2; \)
\(2) y'=5(1+5x-8x^2)^4(5-16x); \)
\(3) y'=bm(a+bx)^{m-1};\)
\(4) y'=4\left(1+2\sqrt{x}-\frac{3}{x^2}\right)^3\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{6}{x^3}\right). \)

---