Задача 1. Найти производные функций:
$$1) y=\sqrt{x^2+2}; 2) y=\sqrt{3x}; 3) y=\frac{2}{(3x^2-5)^3}.$$
Решение. 1) Положив \(u=x^2+2\), получим \(y=\sqrt{u}\), и поэтому
$$y'=\frac{1}{2\sqrt{u}}u'=\frac{1}{2\sqrt{x^2+2}}2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}.$$
Можно было бы сразу воспользоваться формулой для дифференцирования квадратного корня из функции, не вводя промежуточной переменной \(u\). Эту формулу следует понимать так: чтобы получить производную от квадратного корня из функции, надо единицу разделить на два корня квадратных из той же функции и полученную дробь умножить на производную от функции, стоящей под корнем.
Следовало поступить так: \(y=\sqrt{x^2+2}; y'=\frac{1}{2\sqrt{x^2+2}} \cdot 2x.\)
2) \(y=\sqrt{3x}; y'=\frac{1}{2\sqrt{3x}} \cdot 3;\)
3) \(=\frac{2}{(3x^2-5)^3}; y'=-\frac{2}{(3x^2-5)^6} \cdot 3(3x^2-5)^2 6x; y'=-\frac{36}{(3x^2-5)^4}\)
Для упражнения выполним еще один совершенно аналогичный пример, но без введения переменной \(u\).
Задача 2. Найти производную функции \(y=\frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}.\)
Решение.
$$y'=-\frac{1}{{x^2+x+1}}(\sqrt{x^2+x+1})'=-\frac{1}{{x^2+x+1}}\frac{1}{2\sqrt{x^2+x+1}} \cdot (2x+1)=-\frac{(2x+1)}{2(x^2+x+1)\sqrt{x^2+x+1}}.$$
Задача 3. Найти производные функций:
$$1) Q=\sqrt[3]{3t-2t^2}; 2) S=\sqrt[4]{(2t^2-t^3)^3}.$$
Решение. 1) Перепишем пример в виде \(Q=(3t-2t^2)^{\frac{1}{3}}; Q'=\frac{1}{3}(3t-2t^2)^{-\frac{2}{3}}(3-4t)\). Окончательно \(Q'=-\frac{3-4t}{3\sqrt[3]{(3t-2t^2)^2}}\).
2) Перепишем пример в виде \(S=(2t^2-t^3)^{\frac{3}{4}};\)
$$S'=\frac{3}{4}(2t^2-t^3)^{-\frac{1}{4}} \cdot (4t-3t^2).$$
Окончательно \(S'=\frac{3t(4-3t)}{4\sqrt[4]{2t^2-t^3}}.\)
Задача 4. Найти производную функции
$$y=\frac{a^2-x^2}{a^2+x^2}.$$
Решение. Здесь следует применить формулу для дифференцирования дроби. При решении этой задачи и следующей будем делать подробные записи, а в дальнейшем от них откажемся. Надо научиться дифференцировать бегло, без промежуточных записей. Здесь \(u=a^2-x^2, v=a^2+x^2;\)
$$y'=\frac{(a^2-x^2)'(a^2+x^2)-(a^2+x^2)'(a^2-x^2)}{(a^2+x^2)^2}.$$
Выполняя дифференцирование в числителе, получим, что
$$y'=\frac{-2x(a^2+x^2)-2x(a^2-x^2)}{(a^2+x^2)^2},$$
а после очевидных упрощений
$$y'=-\frac{4a^2x}{(a^2+x^2)^2}.$$
Задача 5. Найти производную функции
$$y=\frac{5+3x+x^2}{5-3x+x^2}.$$
Решение. Здесь имеем
$$y'=\frac{(5+3x+x^2)'(5-3x+x^2)-(5-3x+x^2)'(5+3x+x^2)}{(5-3x+x^2)^2}.$$
Выполняя дифференцирование, получим
$$y'=\frac{(3+2x)(5-3x+x^2)-(-3+2x)(5+3x+x^2)}{(5-3x+x^2)^2},$$
а после упрощений
$$y'=\frac{6(5-x^2)}{(5-3x+x^2)^2}.$$
Задача 6. Найти производные функций:
$$1) y=\frac{x}{1+x^2}; 2) y=\frac{1+x^2}{1-x^2}; 3) y=\frac{x^m}{(1-x)^n}.$$
Решение.
\(1) y'=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2};\)
\(2) y'=\frac{4x}{(1-x^2)^2};\)
\(3) y'=\frac{x^{m-1}\left[m(1-x)+nx \right]}{(1-x)^{n+1}}.\)
