Задача 1. Найти производные функций:

$$1) y=\sin kx; 2) y=\cos lx; 3) y=\tan px; 4) y= \cot qx.$$

Решение.

1) По формуле, полагая \(u=kx\) имеем:

$$y=\sin u; u=kx; y'=\cos u \cdot u'; y'=\cos kx \cdot k; y'=k \cos kx,$$

где \(\cos kx\) - производная синуса, а \(k\) производная \(u=kx\).

2) По формуле, полагая

$$y=\cos u; u=lx; y'=-\sin u \cdot u'; y'=-\sin lx \cdot l; y'=-l \sin x,$$

где \(\sin lx\) - производная косинуса, а \(l\) производная \(u=lx\).

3) По формуле, полагая

$$y=\tan u; u=px; y'=\frac{1}{\cos^2u}u'; y'=\frac{1}{\cos^2 px} p; y'=\frac{p}{\cos^2 px},$$

или \(y'=p \sec^2 px,\)

где \(\frac{1}{\cos^2 px}\) - производная тангенса, а \(p\) производная \(u=px\).

4) По формуле, полагая

$$y=\cot u; u=qx; y'=-\frac{1}{\sin^2u}u'; y'=-\frac{1}{\sin^2 qx} q; y'=-\frac{q}{\sin^2 qx},$$

или \(y'=-q \csc ^2 qx,\)

где \(-\frac{1}{\sin^2 qx}\) - производная котангенса, а \(q\) производная \(u=qx\).

Задача 2. Найти производные функций:

$$1) y=\sin 2x^2; 2) y=\sin \sqrt{x}; 3) y= \tan\frac{1+x}{x}; 4) y= \cos\sqrt{\frac{1}{1+x}}.$$

Решение. 1) Мы прежде всего вычисляем производную синуса, а так как синус берется от \(2x^2\), то вычисляем производную \(2x^2\). Производная данной функции равна произведению этих производных. Пользуясь формулой, получаем

$$y'= \cos 2x^2 \cdot 4x; y'=4x \cos 2x^2.$$

2) При решении этого примера мы также прежде всего должны вычислить производную синуса, а так как синус вычисляется от \(\sqrt {x}\), то надо взять производную от этого корня и полученные производные перемножить. Формула дает

$$y'= \cos\sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}; y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cos\sqrt{x}.$$

3) Здесь прежде всего надо продифференцировать тангенс, но так как он берется от дроби, то следует найти производную дроби и эти производные перемножить. По формуле

$$y'=\frac{1}{\cos^2\frac{1+x}{x}} \cdot \left( \frac{1+x}{x}\right)'=\frac{1}{\cos^2\frac{1+x}{x}} \cdot \frac{1 \cdot x - (1+x) \cdot 1}{x^2}= -\frac{1}{x^2} \sec^2 \frac{1+x}{x}.$$

4) В этом примере следует сначала продифференцировать косинус. Так как косинус вычисляется от квадратного корня, то вслед за этим надо продифференцировать корень. Но корень вычисляется от дроби, а поэтому надо продифференцировать дробь и все три полученные производные перемножить. Здесь цепочка из трех звеньев:

$$y=\cos u; u=\sqrt{v}; v=\frac{1}{1+x}.$$

Производная

$$y'=-\sin\sqrt{\frac{1}{1+x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{1+x}}} \cdot \left[-\frac{1}{(1+x)^2} \right],$$

где первый множитель - производная косинуса, второй множитель - производная корня, третий множитель - производная дроби.

Окончательно

$$y'=\frac{1}{2(1+x)^{\frac{3}{2}}}\cdot \sin\sqrt{\frac{1}{1+x}}.$$

---