Пример 1. Найти интеграл
$$I=\int \frac{dx}{(2x+1)^{2/3}-(2x+1)^{1/2}}.$$
Здесь \(n_1=3,n_2=2\); поэтому \(s=6\). Применим подстановку \(2x+1=t^6\), тогда \(x=(t^6-1),dx=3t^5dt\) и следовательно,
$$I=\int \frac{3t^5dt}{t^4-t^3}=3\int \frac{t^2dt}{t-1}=3\int \frac{t^2-1+1}{t-1}dt=$$
$$=3\int (t+1+\frac{1}{t-1}dt=\frac{3}{2}t^2+3t+3\ln\left|t-1 \right|+C.$$
Возратимся к старой переменной. Так как \(t=(2x+1)^{1/6}\), то
$$I=\frac{3}{2}(2x+1)^{1/6}+3(2x+1)^{1/6}+3\ln \left|\sqrt [6] {2x+1}-1 \right|+C.$$
Пример 2. Найти интеграл
$$\int \frac{dx}{\sqrt {x^2+2x+5}}.$$
Преобразуем квадратный трехчлен к виду
$$x^2+2x+5=(x+1)^2+4.$$
Тогда
$$\int \frac{dx}{\sqrt {x^2+2x+5}}=\int \frac{d(x+1)}{\sqrt {(x+1)^2+4}}=\ln x+1 +\sqrt {x^2+2x+5}+C.$$
Пример 3. Найти интеграл
$$\int \frac{dx}{\sqrt {-3x^2+4x-1}}.$$
$$\int \frac{dx}{\sqrt {-3x^2+4x-1}}=\frac{1}{\sqrt 3}\int \frac{d(x-\frac{2}{3}}{\sqrt {\frac{1}{9}-(x-\frac{2}{3})^2}}=$$
$$=\frac{1}{\sqrt 3}arcsin \frac{x-2/3}{1/3}+C=\frac{1}{\sqrt 3}arcsin(3x-2)+C.$$
Пример 4. Найти интеграл
$$\int \frac{5x-3}{\sqrt {2x^2+8x+1}dx}.$$
Выделим в числителе производную подкоренного выражения:
$$\int \frac{5x-3}{\sqrt {2x^2+8x+1}dx}=\int \frac{5/4(4x+8)-13}{\sqrt {2x^2+8x+1}}dx=$$
$$=\frac{5}{4}\int \frac{4x+8}{\sqrt {2x^2+8x+1}}dx-13\int \frac{dx}{\sqrt {2x^2+8x+1}}=$$
$$=\frac{5}{2}\sqrt {2x^2+8x+1}-\frac{13}{\sqrt 2}\int \frac{dx}{\sqrt {x^2+4x+1/2}}=$$
$$=\frac{5}{2}\sqrt {2x^2+8x+1}-\frac{13}{\sqrt 2}\ln \left|x+2+\sqrt {x^2+4x+1/2} \right|+C.$$
Пример 5. Найти интеграл
$$\int \frac{dx}{(x-1)\sqrt {-x^2+2x+3}}.$$
Полагаем \(x-1=1/t\) , тогда \(x=1/t+1\) и \(dx=-(1/t^2)dt.\). Следовательно
$$\int \frac{dx}{(x-1)\sqrt {-x^2+2x+3}}=-\int \frac{(dt)/t^2}{\frac{1}{t}\sqrt {-(1+\frac{1}{t})^2+2(1+\frac{1}{t})+3}}=$$
$$=-\int \frac{dt}{t\sqrt {-1-\frac{2}{t}-\frac{1}{t^2}+2+\frac{2}{t}+3}}=-\int \frac{dt}{\sqrt {4t^2-1}}=$$
$$=-\frac{1}{2}\int \frac{dt}{\sqrt {t^2-\frac{1}{4}}}=-\frac{1}{2}\ln \left|t+\sqrt {t^2-\frac{1}{4}} \right|+C=$$
$$=-\frac{1}{2}\ln \left|\frac{1}{x-1}+\sqrt {(\frac{1}{x-1})^2-\frac{1}{4}} \right|+C=-\frac{1}{2}\ln \left|\frac{2+\sqrt {-x^2+2x+3}}{2(x-1)} \right|+C.$$
Пример 6. Найти интеграл
$$I=\int \frac{3x+2}{(x+1)\sqrt {x^2+3x+3}}dx.$$
Записав числитель подинтегральной функции в виде \(3x+2=3(x+1)-1\) , получим
$$I=\int \frac{3(x+1)-1}{(x+1)\sqrt {x^2+3x+3}}dx,$$
Представим данный интеграл как разность двух интегралов:
$$I=3\int \frac{dx}{\sqrt {x^2+3x+3}}dx-\int \frac{dx}{(x+1)\sqrt {x^2+3x+3}}.$$
Ко второму интегралу применим подстановку \(x+1=1/t\) :
$$I=3\ln \left|x+\frac{3}{2}+\sqrt {x^2+3x+3} \right|+\int \frac{(dt)/t^2}{\frac{1}{t}\sqrt {(\frac{1}{t}-1)^2+3(\frac{1}{t}-1)+3}}=$$
$$=3\ln \left|x+\frac{3}{2}+\sqrt {x^2+3x+3} \right|+\int \frac{dt}{\sqrt {t^2+t+1}}=$$
$$=3\ln \left|x+\frac{3}{2}+\sqrt {x^2+3x+3} \right|+\ln\left|t+\frac{1}{2+\sqrt {t^2+t+1}} \right|+C=$$
$$=3\ln \left|x+\frac{3}{2}+\sqrt {x^2+3x+3} \right|+\ln\left|\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt {x^2+3x+3}}{x+1} \right|+C.$$
Пример 7. Найти интеграл
$$\int \frac{dx}{x\sqrt {5x^2-2x+1}}.$$
Положим \(x=1/t\, тогда \(dx=-(1/t)dt\) и
$$\int \frac{dx}{x\sqrt {5x^2-2x+1}}=-\int \frac{(dt)/t^2}{(1/t)\sqrt {5/t^2-2/t+1}}=$$
$$=-\int \frac{dt}{\sqrt {t^2-2t+5}}=-\ln \left|t-1+\sqrt {t^2-2t+5} \right|+C=$$
$$=-\ln \left|\frac{1}{x}-1+ \sqrt {\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}+5} \right|+C=-\ln \left|\frac{1-x+\sqrt {5x^2-2x+1}}{x} \right|+C.$$
2012-12-17 • Просмотров [ 2606 ]
