Исследовать на экстремум функциию \(y=\sqrt[3]{x^3-3x}\)

Решение:
Функция определена в интервале  \((-\propto; \propto )\)

Найдем производную функции: \(y'=\frac{3x^2-3}{3\cdot \sqrt[3]{(x^3-3x)^2}}=\frac{3(3x^2-1)}{\sqrt[3]{(x^3-3x)^2} }=\frac{x^2-1}{\sqrt[3]{(x^3-3x)^2} }\)

Найдем критические точки, для этого решим уравнение:

\(\frac{x^2-1}{\sqrt[3]{(x^3-3x)^2}}=0\)
\(x^2-1=0\)
\(x=1, x=-1\)
 

\(x^3-3x\neq 0\)
\(x(x^2-3)\neq 0\)
\(x\neq 0,x\neq 3,x\neq -\sqrt{3}\)

Критические точки:\(x\neq -\sqrt{3}, x=-1,x\neq 0,x=1,x\neq \sqrt{3}\).

Определяем знаки производной на каждом из интервалов \((-\propto ;-\sqrt{3}), -\sqrt{3;-1}, (-1;0), (0,1), (1;\sqrt{3}), (\sqrt{3};\propto )\),

  • \(y'(-2)=\frac{4-1}{\sqrt[3]{(-8+6)^2}}=\frac{3}{\sqrt[3]{4}}>0\)  на промежутке  \((-\propto ;-\sqrt{3})\) функция возрастает;


  • \(y'(-1;\frac{1}{2})=\frac{\frac{9}{4}-1}{\sqrt[3]{(\frac{-27}{8}+\frac{9}{2})^2}}=\frac{\frac{5}{4}}{\sqrt[3]{(\frac{9}{8})^2}}>0\) на промежутке  \(-\sqrt{3;-1}\) функция возрастает


  • \(y'(\frac{1}{2})=\frac{\frac{1}{4}-1}{\sqrt[3]{(\frac{-1}{8}+\frac{3}{2})^2}}=\frac{\frac{-3}{4}}{\sqrt[3]{(\frac{11}{8})^2}}<0\) на промежутке  (-1;0) функция спадает;

 

  • \(y'(\frac{1}{2})=\frac{\frac{1}{4}-1}{\sqrt[3]{(\frac{-1}{8}-\frac{3}{2})^2}}=\frac{\frac{-3}{4}}{\sqrt[3]{(\frac{11}{8})^2}}<0\) на промежутке  (0;1) функция спадает;

 

  • \(y'(1\frac{1}{2})=\frac{\frac{9}{4}-1}{\sqrt[3]{(\frac{27}{8}-\frac{9}{2})}}=\frac{\frac{5}{4}}{\sqrt[3]{(\frac{-9}{8})^2}}>0\) на промежутке  \(1;\sqrt{3}\) функция возрастает;

 

  • \(y'(2)=\frac{4-1}{\sqrt[3]{{(8-6}^2})}=\frac{3}{\sqrt[3]{4}}>0\) на промежутке \((\sqrt{3};\propto)\) функция возрастает;

Точка x=-1является точкой максимума, а точка x=1 является точкой минимума.

Находим значение функции в точках экстремума:

\(y min(1)=\sqrt[3]{1-3}=\sqrt[3]{-2}\)

\(y max(-1)=\sqrt[3]{-1+3}=\sqrt[3]{2}\)

Ответ: \(xmin=1, ymin= \sqrt[3]{-2}, xmax=-1, ymax= \sqrt[3]{2}\)

Оценка - 1.0 (27)
2012-12-26 • Просмотров [ 22719 ]