Касательной плоскостью к поверхности в точке \(M\) называется плоскость, содержащая в себе касательные ко всем кривым, проведенным на поверхность через точку \(M\).
Нормалью к поверхности в точке \(M\) называется прямая, проходящая через \(M\) перпендикулярно касательной плоскости в этой точке.
Если поверхность задана уравнением \(F(x,y,z)=0\) и в точке \(M(x_0;y_0;z_0)\) частные производные
$$\left(\frac{\partial F}{\partial x} \right)_M,\left(\frac{\partial F}{\partial y} \right)_M,\left(\frac{\partial F}{\partial z} \right)_M$$
конечны и не обращаются в ноль одновременно, то уравнение касательной плоскости к поверхности в точке \(M(x_0;y_0;z_0)\) записывается в виде
$$\left(\frac{\partial F}{\partial x} \right)_M(x-x_0),\left(\frac{\partial F}{\partial y} \right)_M(y-y_0),\left(\frac{\partial F}{\partial z} \right)_M(z-z_0)=0,$$
а уравнение нормали к поверхности в этой же точке - в виде
$$(x-x_0)/\left(\frac{\partial F}{\partial x} \right)_M,(y-y_0)/\left(\frac{\partial F}{\partial y} \right)_M, (z-z_0)/\left(\frac{\partial F}{\partial z} \right)_M$$
Если же уравнение поверхности задано явным образом : \(z=f(x,y)\) ,где частные производные \(\left(\frac{\partial z}{\partial x} \right)_M\) и \(\left(\frac{\partial z}{\partial y} \right)_M\) в точке \(M(x_0;y_0;z_0)\) конечны (и могут быть равны нулю одновременно), то уравнение касательной плоскости в точке \(M\) записываются в виде
$$z-z_0=\left(\frac{\partial z}{\partial x} \right)_M(x-x_0)+\left(\frac{\partial z}{\partial y} \right)_M(y-y_0),$$
а уравнение нормали - в виде
$$(x-x_0)/\left(\frac{\partial z}{\partial x} \right)_M=(y-y_0)/\left(\frac{\partial z}{\partial y} \right)_M=(z-z_0)/-1.$$
Равенство нулю, например \(\left(\frac{\partial z}{\partial x} \right)_M\) , означает, что касательная плоскость паралельна оси \(Ox\), а нормаль лежит в плоскости \(x=x_0\).
Пример 1. Данная поверхность \(z=x^2-2xy+y^2-x+2y.\) Составить уравнение плоскости и уравнение нормали к поверхности в точке \(M(1;1;1).\)
Найдем частные производные
$$\frac{\partial z}{\partial x}=2x-2y-1;\frac{\partial z}{\partial y}=-2x+2$$
и их значения в точке \(M(1;1;1)\) :
$$(\frac{\partial z}{\partial x})_M=-1;(\frac{\partial z}{\partial y})_M=-2.$$
Уравнение касательной плоскости:
\(z-1=-(x-1)+2(y-1) ,\) или \(x-2y+z=0.\)
Уравнение нормали :
$$(x-1)/(-1)=(y-1)/2=(z-1)/(-1).$$
Пример 2. К поверхности \(x^2+2y^2+3z^2=11\) провести касательные плоскости, паралельные плоскости \(x+y+z=1.\)
Здесь
$$F(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-11.$$
Найдем частные производные
$$\frac{\partial F}{\partial x}=2x,\frac{\partial F}{\partial y}=4y,\frac{\partial F}{\partial z}=6z.$$
Из условия параллельности касательной плоскости и данной плоскости следует, что
\((\partial F/\partial x)/1=(\partial F/\partial y)/1=(\partial F/\partial z)/1,\) или \((2x)/1=(4y)/1=(6z)/1.\)
Присоединив к этим уравнениям уравнение поверхности \(x^2+2y^2+3z^2=11,\) найдем координаты точек касания :
$$M_1(\sqrt 6;\sqrt 6/2; \sqrt 6/3) ; M_2(-\sqrt 6;-\sqrt 6/2; -\sqrt 6/3).$$
Следовательно, уравнение касательных плоскостей имеют вид
$$1\cdot (x\pm \sqrt 6)+1\cdot (y\pm \sqrt 6/2)+1\cdot (z\pm \sqrt 6/3) =0,$$
т.е.
\(x+y+z+11/\sqrt 6=0\) и \(x+y+z-11/\sqrt 6=0.\)
