Пример 1: Решить уравнение $$ \sqrt{1-2\sin 3x\sin 7x}=\sqrt{\cos 10x}.$$
Решение:
Данное уравнение эквивалентно следующей системе:
$$ \begin{cases}1-2\sin 3x\sin 7x=\cos 10x, \\ \cos 10x\geq 0.\end{cases} $$
Решаем первое уравнение системы:
$$1-2\sin 3x\sin 7x=\cos (7x+10x)\Leftrightarrow$$
$$1-2\sin 3x\sin 7x=\cos 3x\cos 7x-\sin 3x\sin 7x\Leftrightarrow$$
$$1=\cos 3x\cos 7x+\sin 3x\sin 7x\Leftrightarrow \cos 4x=1. $$
$$\cos 10x = 1\Leftrightarrow 4x=2\pi k\Leftrightarrow x = \frac{\pi k}{2}.$$
Нужно, чтобы cos 10x был больше 0, поразмыслив, понимаем, что поэтому из полученной серии ответов нам подходят только x=пk.
Ответ: $$x=\pi k$$
Пример 2: Решить уравнение $$\frac{2\sin^2 x-\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)-1}{\sqrt{\sin x}}=0. $$
Решение:
Данное уравение равносильно системе:
$$\begin{cases}2\sin^2 x-\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)-1=0, \\ \sin x>0\end{cases}\Leftrightarrow $$
$$ \begin{cases}2\cos^2 x-\cos x-1=0,\\ \sin x>0\end{cases}\Leftrightarrow $$
$$x=2\pi k$$
$$x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n$$
Тригонометрическая функция синус положительна в первой и второй координатной четвертях, поэтому из полученных серий выбираем только второе.
Ответ:$$ x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k.$$
