Пример: Найти корни уравнения $$\sin x+\sqrt{3}\cos x=1$$
принадлежащие промежутку
$$[-2\pi;4\pi].$$
Решение:
Разделим обе части на 2, уравнение тогда примет вид:
$$\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = 1$$
Подберем такое число, синус которого равен 0,5.
Например, пусть это будет числo п/6. С учетом этого перепишем уравнение в виде:
$$\sin\frac{\pi}{6}\sin x+\cos\frac{\pi}{6}\cos x=\frac{1}{2}$$
Присмотревшись, слева от знака равенства усматриваем разложение косинуса разности x и п/6. Это и есть ключ к решению. Имеем:
$$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x-\frac{\pi}{6}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\Leftrightarrow$$
$$\begin{bmatrix} x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}+2\pi k\\ x-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{3}+2\pi k \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{\pi }{2}+2\pi k\\ x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k \end{bmatrix}$$
Осуществляем отбор решений, входящих в промежуток
1)
$$-2\pi\leq \frac{\pi}{2}+2\pi k\leq 4\pi \Leftrightarrow -2\leq \frac{1}{2}+2k\leq 4\Leftrightarrow -\frac{5}{4}\leq k\leq \frac{7}{4}\Leftrightarrow k = -1,\,0,\,1$$
$$x=-\frac{3\pi}{2},\,\frac{\pi}{2},\,\frac{5\pi}{2}.$$
2)
$$-2\pi\leq -\frac{\pi}{6}+2\pi n\leq 4\pi \Leftrightarrow -2\leq -\frac{1}{6}+2n\leq 4\Leftrightarrow -\frac{11}{12}\leq n\leq \frac{25}{12}\Leftrightarrow n = 0,\,1,\, 2$$
$$ x=-\frac{\pi}{6},\,\frac{11\pi}{6},\,\frac{23\pi}{6}.$$
Ответ: $$x=-\frac{\pi}{6},\,\frac{11\pi}{6},\,\frac{23\pi}{6},\,-\frac{3\pi}{2},\,\frac{\pi}{2},\,\frac{5\pi}{2}.$$
