Знайти загальний розв'язок рівняння
$$(x^2+1)y''-2xy'+2y=0,$$
попередньо впевнившись, що функція \(y_1(x)=x\) є його частинним розв'язком.
Розв'язання:
Задане рівняння є лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку із змінними коефіцієнтами. Переконаємось, що \(y_1(x)=x\) — частинний розв'язок заданого рівняння.
Знаходимо \(y'_1(x)=1,\;y''_1(x)=0\) Підставивши \(у(х),\; у'(х),\; у"(х)\) у диференціальне рівняння, отримаємо тотожність, тобто функція \(y_1(x)=x\) є частинним розв'язком даного рівняння.
Виконуємо підстановку \(у=у=y_1(x)\cdot z(x) \), тобто покладемо \(y=x\cdot z,\)
$$y'=xz'+z,\;y''=xz''+2z'.$$
Підставивши ці вирази в задане диференціальне рівняння, отримаємо
$$(x^2+1)(xz''+2z')-2x(xz'+z)+2xz=0$$
або, після перетворень
$$x(x^2+1)z''+2z'=0$$
Тепер, поклавши \(z'=u,\;z''=u',\) приходимо до рівняння першого порядку відносно функції \(u= u( х)\)
$$x(x^2+1)u'+2u=0.$$
Це рівняння з відокремлюваними змінними. Його загальний розв'язок має вигляд:
$$u=С_1\frac{x^2+1}{x^2}$$
Звідси, враховуючи, що \(u=z'\), отримуємо рівняння першого порядку відносно \(z\):
$$z'=С_1\frac{x^2+1}{x^2},\; dz=C_1\left(1+\frac{1}{x^2} \right)dx.$$
Інтегруючи останнє рівняння, знаходимо:
$$z=C_1\left(x-\frac{1}{x} \right)+C_2.$$
Оскільки \(у = xz\) , тобто \(z=\frac{y}{x}\) отримуємо загальний розв'язок вихідного рівняння:
$$y=C_1(x^2-1)+C_2x.$$
