Приклад . Зiнтегрувати рiвняння
$$y^{VI}-4y^{V}+8y^{IV}-8y^{III}+4y^{II}=0$$
Розв’язання. Побудуємо характеристичне рiвняння 
$$\lambda ^6-4\lambda ^5+8\lambda ^4-8\lambda ^3+4\lambda ^2=0$$
i знайдемо його коренi. Маємо: 
$$\lambda^2(\lambda ^4-4\lambda ^3+8\lambda ^2-8\lambda +4)=0$$
або  \(\lambda^2(\lambda ^2-2\lambda +2)^2=0\) Звiдси маємо три коренi \(\lambda _1=0\) кратностi 2, \(\lambda _2=1+i\) кратностi 2, \(\lambda _2=1-i\) кратностi 2. ◦м вiдповiдають розв’язки
\(y_1=1\) , (y_2=x\) , \(y_3=e^{(1+i)x}\) , \(y_4=xe^{(1+i)x}\) ,\(y _5=e^{(1-i)x}\) , \(y_6=ze^{(1-i)x}\)
якi складають фундаментальну систему. Замiнюємо пару розв’язкiв \(y_3\), \(y_5\) розв’язками  \(cosxe^x\),\(sinxe^x\) , а пару розв’язкiв \(y_4\), \(y_6\)  розв’язками \(xcosxe^x\) ,\(xsinxe^x\) , i записуємо загальний розв’язок заданого рiвняння
$$y=C_1+C_2x+C_3e^xcosx+C_4e^xsinx+C_5xe^xcosx+C_6xe^xsinx$$ 

---