Задача: используя метод Ньютона найти минимум функции двух переменных:

$$f(x_1;x_2)=10x_1^2+4x_1x_2+x_2^2-2x_1+x_2.$$

За начальную точку взять \(x_0=(0;0);\)

Решение:

Шаг 1. Полагаем \(x_1=(0;0).\)

Находим производные:

$$\frac{\partial f(x)}{\partial x_1}=20x_1+4x_2-2,$$

$$\frac{\partial f(x)}{\partial x_2}=4x_1-2x_2+1,$$

вычисляем их:

$$\frac{\partial f(x)}{\partial x_1}=20*0+4*0-2=-2,$$

$$\frac{\partial f(x)}{\partial x_2}=4*0-2*0+1=1.$$

и проверяем условие:

$$|\frac{\partial f(x_1)}{\partial x_1}|=2>\varepsilon.$$

То есть, условие не выполняется.

Полагаем:

$$b_{1;1}=-\frac{\partial f(x_1)}{\partial x_1}=2,$$

$$b_{2;1}=-\frac{\partial f(x_1)}{\partial x_1}=-1.$$

Находим производные:

$$\frac{\partial^2 f(x_1)}{\partial x_1^2}=20,$$

$$\frac{\partial^2 f(x_1)}{\partial x_1 \partial x_2}=4,$$

$$\frac{\partial^2 f(x_1)}{\partial x_2^2}=2.$$

И вычисляем

$$a_{ij}^{(1)}=a_{ji}^{(1)}=\frac{\partial^2 f(x_1)}{\partial x_i \partial x_j}, (i,j=1;2):$$

$$a_{11}^{(1)}=\frac{\partial^2 f(x_1)}{\partial x_1^2}=20,$$

$$a_{12}=a_{21}=\frac{\partial^2 f(x_1)}{\partial x_1 x_2}=4,$$

$$a_{22}=\frac{\partial^2 f(x_1)}{\partial x_2^2}=2.$$

Составляем систему уравнений при k=1:

$$ \left\{ \begin{aligned} &20y_1+4y_2=2\\ &4y_1+2y_2=-1\\ \end{aligned} \right. $$

находим её решение

$$y_1^{(1)}=0,333;y_2^{(1)}=-1,166$$

и точку минимума \(\bar{x_1}=x_1+y_1:\)

$$\bar{x_1}^{(1)}=x_1^{(1)}+y_1^{(1)}=0+0,333=0,333,$$

$$\bar{x_2}^{(1)}=x_2^{(1)}+y_2^{(1)}=0-1,166=-1,166.$$

Шаг 2. Полагаем k=2, \(x_2=(0,333;-1,166).\)

Вычисляем:

$$\frac{\partial f(x_2)}{\partial x_1}=20*0,333+4*(-1,166)-2=-0,004,$$

$$\frac{\partial f(x_2)}{\partial x_2}=4*0,333-2*(-1,166)+1=4,664.$$

И проверяем условие: \(|\frac{\partial f(x_2)}{\partial x_1}|=0,004<\varepsilon.\)

То есть, условие выполняется.

$$f_{min}=f(0,333;-1,166)=-0,91667;$$

$$X^*=(0,333;-1,166).$$

---