Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями x + y + z = 5, x = 0, y = 0, z = 0 (рисунок 1.1).
Решение:
Уравнение плоскости x + y + z = 5 можно переписать в виде z = 5- x - y
Если положить z = 0, то получим
5- x - y = 0 или y = 5 - x
Следовательно, область интегрирования D в плоскости Oxy ограничена прямой y = 5 − x, как показано на рисунке 1.2.
Объем тетраэдра будет равен:
\(V=\int \int \int_{V}{dxdydz}=\int_{0}^{5}{dz}\int_{0}^{5-x}{dy}\int_{0}^{5-x-y}{dz=}\)
\(=\int_{0}^{5}{dz}\int_{0}^{5-x}{dy}\cdot \left[(z)\mid_{0}^{5-x-y} \right]=\int_{0}^{5}{dx}\int_{0}^{5-x}{(5-x-y)}dy\)
\(\int_{0}^{5}{dx}\cdot \left[\left(5y-xy-\frac{y^2}{2} \right)\mid_{y=0}^{y=5-x} \right]=\)
\(\int_{0}^{5}{\left(5(5-x)-x(5-x)-\frac{(5-x)^2}{2} \right)}dx=\int_{0}^{5}{\left(25-5x-5x+x^2-\frac{25-10x+x^2}{2} \right)}dx=\)
\(=\frac{1}{2}\int_{0}^{5}{(25-10x+x^2)}dx=\frac{1}{2}\left[\left(25x-\frac{10x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\right)\mid_{0}^{5} \right]=\)
\(=\frac{1}{2}\left(125-5\cdot 25+\frac{125}{3} \right)=\frac{125}{6}\)
\(=\int_{0}^{5}{dz}\int_{0}^{5-x}{dy}\cdot \left[(z)\mid_{0}^{5-x-y} \right]=\int_{0}^{5}{dx}\int_{0}^{5-x}{(5-x-y)}dy\)
\(\int_{0}^{5}{dx}\cdot \left[\left(5y-xy-\frac{y^2}{2} \right)\mid_{y=0}^{y=5-x} \right]=\)
\(\int_{0}^{5}{\left(5(5-x)-x(5-x)-\frac{(5-x)^2}{2} \right)}dx=\int_{0}^{5}{\left(25-5x-5x+x^2-\frac{25-10x+x^2}{2} \right)}dx=\)
\(=\frac{1}{2}\int_{0}^{5}{(25-10x+x^2)}dx=\frac{1}{2}\left[\left(25x-\frac{10x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\right)\mid_{0}^{5} \right]=\)
\(=\frac{1}{2}\left(125-5\cdot 25+\frac{125}{3} \right)=\frac{125}{6}\)
Ответ: 125/6.
2012-12-27 • Просмотров [ 5766 ]
