Знайти загальні роз'вязки рівнянь другого порядку: \(a)\; y''-5y'+6y=0\); \(б)\; y''+4y'+13y=0\)

Задані рівняння є лінійними однорідними диференціальними рівняннями другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

а) для диференціального рівняння $$y''-5y'+6y=0$$ складаємо характеристичне рівняння $$k^2-5k+6=0,$$ корені якого \(k_1=2,k_2=3\)-дійсні і різні.

Отже, фундаментальною системою розв'язків є \(y_1=e^{2x},\;y_2=e^{3x}, \) а загальний розв'язок записується так:

$$y=C_1e^{2x}+C_2e^{3x};$$ б) для диференціального рівняння $$y''+4y'+13y=0$$ складаємо характеристичне рівняння $$k^2+4k+13=0,$$ корені якого \(k_{1,2}=\pm3i\) -комплексні (пара комплексно-спряжених коренів).

Отже, фундаментальна система розв'язків: \(y_1=e^{-2x}\cos3x\), \(y_2=e^{-2x}\sin3x\), а загальній розв'язок представляється у вигляді:

$$y=e^{-2x}(C_1\cos3x+C_2\sin3x).$$

---