Условие задачи. Найти поток векторного поля \[\bar{a}=x \bar{i}+y \bar{j}+(1-z) \bar{k}\] через полную поверхность конуса \[x^{2}+y^{2}=z^{2}\] \[0\leq z\leq 3\] Решение: Поток векторного поля через замкнутую поверхность, ограниченную объемом, равен: \[\prod=\int \int_{S} \bar{a}\cdot \bar{n}\, dS= \int\int \int_{V} div\bar{a}\,dxdydz\] Так, как : \[div\bar{a}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=1+1-1\] Отсюда: \[\prod=\int\int \int_{V}\left(1+1-1\right)\,dxdydz=\] \[=\int_{0}^{2\pi} \,d\phi\int_{0}^{3} \,d\rho\int_{\rho}^{3} \,\rho dz=\] \[=\int_{0}^{2\pi} \,d\phi\int_{0}^{3} \,\rho z\int_{\rho}^{3} \,d\rho =\] \[=\int_{0}^{2\pi} \,d\phi\int_{0}^{3} \left( 3\rho-\rho^{2}\right) \,d\rho =\] \[\int_{0}^{2\pi} \left( \frac{3\rho^{2}}{2}- \frac{\rho^{3}}{3}\right)\left.\right|_{0}^{3}\,d\phi=\] \[=\int_{0}^{2\pi} \left( \frac{27}{2}- 9\right)\,d\phi=\frac{9}{2}\phi\left.\right|_{0}^{2\pi}=2\pi\] Ответ: \[\prod=2\pi\]
