Условие задачи. Найти поток векторного поля \bar{a}=x \bar{i}+y \bar{j}+(1-z) \bar{k} через полную поверхность конуса x^{2}+y^{2}=z^{2} 0\leq z\leq 3 Решение: Поток векторного поля через замкнутую поверхность, ограниченную объемом, равен: \prod=\int \int_{S} \bar{a}\cdot \bar{n}\, dS= \int\int \int_{V} div\bar{a}\,dxdydz Так, как : div\bar{a}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=1+1-1 Отсюда: \prod=\int\int \int_{V}\left(1+1-1\right)\,dxdydz= =\int_{0}^{2\pi} \,d\phi\int_{0}^{3} \,d\rho\int_{\rho}^{3} \,\rho dz= =\int_{0}^{2\pi} \,d\phi\int_{0}^{3} \,\rho z\int_{\rho}^{3} \,d\rho = =\int_{0}^{2\pi} \,d\phi\int_{0}^{3} \left( 3\rho-\rho^{2}\right) \,d\rho = \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{3\rho^{2}}{2}- \frac{\rho^{3}}{3}\right)\left.\right|_{0}^{3}\,d\phi= =\int_{0}^{2\pi} \left( \frac{27}{2}- 9\right)\,d\phi=\frac{9}{2}\phi\left.\right|_{0}^{2\pi}=2\pi Ответ: \prod=2\pi