Обчислити криволінійний інтеграл першого роду: $$\int_{L} (2z-\sqrt{x^2+y^2}) dl$$
де \(L\) - перший виток конічної гвинтової лінії $$\begin{cases} x=t \cos t,& \\ y=t \sin t, & \\\ z=t,&0 \leq t\leq 2 \pi \end{cases}$$
Розв'язання:
Оскільки \(x'(t)= \cos t- t \sin t, \;y'(t)= \sin t+ t \cos t, \; z'(t)=1 \), то $$dl=\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)+z'^2(t)}dt=\sqrt{t^2+2}dt$$
маємо: $$\int_{L} (2z-\sqrt{x^2+y^2}) dl=\int_{0}^{2\pi}{\left(2t-\sqrt{(t \cos t)^2+(t \sin t)^2} \right)}\sqrt{t^2+2}dt=$$ $$=\int_{0}^{2\pi}t\sqrt{t^2+2} dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(t^2+2)^{1/2}d(t^2+2)=\frac{1}{3}(t^2+2)^{3/2}\mid_{1}^{2\pi}=$$ $$=\frac{2\sqrt2}{3}\left((1+2\pi^2)^{3/2} -1\right).$$

---