Зайти об'єм тіла обертання, утвореного обертанням параболи \(y=x^2\) на проміжку \(1\leq x\leq 2\):
а) осі Ox;
б) осі Oy.
Розв'язання:
а) За формулою: $$V_x = \pi \int_{a}^{b}y^2(x){dx}$$ (у нашому випадку \(y^2=x^4\))
знаходимо $$V_x = \pi \int_{1}^{2}x^4{dx} =\pi\frac{x^5}{5}\mid _{1}^{2} = \frac{31\pi}{5};$$
б) За формулою: $$V_y = \pi \int_{c}^{d}x^2(y){dy} \; (x(y)=\sqrt{y})$$
маємо $$V_y = \pi \int_{1}^{4}y{dy}=\pi\frac{y^2}{2}\mid_{1}^{4} = \frac{15\pi}{2}.$$
Фігура, обмежена кривими \(y=\sqrt{2px}\) і \(y = \frac{2}{\sqrt {p}}(x-p)^{3/2},\) обертається навколо осі Ox. Знайти об'єм тіла обертанням.
Розв'язання:
Знайдемо точку перетину заданих кривих: $$\sqrt {2px} = \frac{2}{\sqrt {p}}(x-p)^{3/2}\Rightarrow x=2p, y=2p.$$
Шуканий об'єм $$V=V_1-V_2,$$
де \(V_1\) - об'єм, отриманий обертанням криволінійної трапеції, обмеженої параболою \(y=\sqrt {2px} (0\leq x\leq 2 p),\)
\(V_2\) - об'єм, отриманий обертанням криволінійної трапеції, обмеженої півкубічною параболою \(y = \frac{2}{\sqrt{p}}(x-p)^{3/2}\;(p\leq x\leq 2p).\)
Тоді $$V = \pi \int_{0}^{2p}y^2_1{dx}-\pi \int_{p}^{2p}y^2_2{dx} = \pi \cdot 2p\int_{0}^{2p}x{dx}-\pi\frac{4}{p}\int_{p}^{2p}(x-p)^3{dx}=$$ $$=2\pi p \frac{x^2}{2}\mid_{0}^{2p} - \frac{4\pi}{p}\cdot \frac{(x-p)^4}{4}\mid_{p}^{2p} = 4\pi p^3-\pi p^3 = 3 \pi p^3.$$

---