Задача
Дана матрица
\(A=
\left(
\matrix
{
3 & 2 & 2\\
1 & 3 & 1\\
5 & 3 & 4
}
\right).
\)
Найти обратную матрицу.
Решение
Вычисляем определитель матрицы \(A\):
$$D_A=
\left|
\matrix
{
3 & 2 & 2\\
1 & 3 & 1\\
5 & 3 & 4
}
\right|
=27+2-24=5.
$$
Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя:
$$A_{11}=
\left|
\matrix
{
3 & 1\\
3 & 4
}
\right|
=9,
A_{21}=-
\left|
\matrix
{
2 & 2\\
3 & 4
}
\right|
=-2,
A_{31}=
\left|
\matrix
{
2 & 2\\
3 & 1
}
\right|
=-4,
$$
$$A_{12}=-
\left|
\matrix
{
1 & 1\\
5 & 4
}
\right|
=1,
A_{22}=-
\left|
\matrix
{
3 & 2\\
5 & 4
}
\right|
=2,
A_{32}=-
\left|
\matrix
{
3 & 2\\
1 & 1
}
\right|
=-1,
$$
$$A_{13}=
\left|
\matrix
{
1 & 3\\
5 & 3
}
\right|
=-12,
A_{23}=-
\left|
\matrix
{
23 & 2\\
5 & 3
}
\right|
=1,
A_{33}=
\left|
\matrix
{
3 & 2\\
1 & 3
}
\right|
=7.
$$
Следовательно,
$$A^{-1}=
\left(
\matrix
{
9/5 & -2/5 & -4/5\\
1/5 & 2/5 & -1/5\\
-12/5 & 1/5 & 7/5
}
\right).
$$
