Пример 1 Решить уравнение: $$sin^2 x - 3 sin x cos x + 2 cos^2 x = 0.$$
Решение:
Разделим обе части уравнения на $$cos^2 x:$$
$$\frac{sin^2x}{cos^2x}-\frac{3sinxcosx}{cos^2x}+\frac{2cos^2x}{cos^2x}=0$$
Получаем:
$$tg^2 x - 3 tg x + 2 = 0.$$
Вместо tg x введем новую переменную z и получим квадратное уравнение:
$$z^2 - 3z + 2 = 0.$$
Найдем корни:
$$z_{1}=1; z_{2}=2$$
Значит: либо tg x = 1, либо tg x = 2.
Сначала найдем x при tg x = 1:
$$x = arctg 1 + \pi n.$$
$$x = \frac{\pi }{4} + \pi n.$$
Теперь найдем x при tg x = 2:
$$x = arctg 2 + \pi n.$$
Ответ: $$x = \frac{\pi }{4} + \pi n; x = arctg 2 + \pi n.$$
Пример 2 Решить уравнение: $$4{{\sin }^{2}}x+\sin 2x-3=0$$
Как вы помните, прежде чем приступить к его решению, нужно выполнить некоторые преобразования. Выполняем преобразования:
$$4sin^2x+2sinxcosx-3(sin^2x+cos^2x)=0$$
$$4sin^2x+2sinxcosx-3sin^2x-3cos^2x=0$$
$$sin^2x+2sinxcosx-3cos^2x)=0$$
Мы получили конструкцию, состоящую из трех элементов. В первом члене мы видим
$$sin2{{\sin }^{2}}, $$
т. е. его степенное значение равно двум. Во втором слагаемом мы видим
$$sinx\sin x и cosx\cos x $$
опять же функции две, они перемножаются, поэтому общая степень снова два. В третьем звене мы видим
$$cos2x{{\cos }^{2}}x $$
аналогично первому значению.
Выражение
$$cosx=0\cos x=0 $$
не является решением данной конструкции.
Переходим ко второму шагу — делим все наше выражение на
$$cos2x{{\cos }^{2}}x. $$
Получаем:
$$\frac{sin^2x}{cos^2x}+2\frac{sinxcosx}{cos^2x}-3=0$$
$$tg^2x+2tgx-3=0$$
Данный многочлен представим в виде двух простых многочленов, а именно:
$$(tgx+3)(tgx−1)=0$$
$$tgx=-3→x=-arctg3+ \pi n,$$
Ответ: $$x= \frac{\pi }{4}+\pi k$$
