Задача 1: Решить уравнение $$\frac{2sinx+5cosx}{3sinx-2cosx}=4$$
Решение:
Переносим 4 влево с минусом и приводим к общему знаменателю:
$$\frac{2sinx+5cosx}{3sinx-2cosx}-\frac{4(3sinx-2cosx)}{3sinx-2cosx}=0$$
После преобразований получаем:
$$\frac{13cosx-10sinx}{3sinx-2cosx}=0$$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель нулю
не равен. Приравнивая к нулю числитель, имеем:
$$10sinx=13cosx$$
Делим на cos x и получаем:
$$tg \; x=\frac{13}{10}$$
Откуда
$$x=arctg\frac{13}{10}+\pi n$$
Ответ: $$x=arctg\frac{13}{10}+\pi n$$
Задача 2: Решить уравнение $$sin^2x-4sinxcosx+11cos^2x=4$$
Решение:
Припишем к числу 4 в правой части единичный множитель. От этого,
понятно, ничего не изменится:
$$sin^2x-4sinxcosx+11cos^2x=4(sin^2x+cos^2x)$$
Раскрываем скобки и приводим подобные:
$$3sin^2x+4sinxcosx-7cos^2x=0$$
Делаем, как и выше, оговорку и делим на cos x:
$$3tg^2x+4tgx-7=0$$
Остаётся решить это уравнение:
$$tgx=1, \; tgx=-\frac{7}{3}$$
и записать ответ:
$$\frac{\pi }{4}+\pi ,\; -arctg\frac{7}{3}+\pi n$$
